Диференціальні рівняння вищих порядків (стр. 2 из 4)

З теореми існування та розв’язку задачі Коші для рівняння (4) випливає, що при виконанні умов теореми в деякому околі точки

існує загальний розв’язок

цього рівняння, з розв’язком якого отримати розв’язок задачі Коші, визначивши значення сталих і із системи рівнянь:

(6)

Відзначемо, що система рівняння (6) завжди є розв’язком, бо існує розв’язок задачі Коші (4) – (5)

На практиці для диференціального рівняння другого порятку можуть бути задані інші умови замість умов Коші. Ними можуть бути крайові умови:

і геометрична задача полягає у знаходженні інтигральної кривої диференціального рівняння (4), яка проходить через дві точки

, .

Примітка. Якщодиференціального рівняння (3) має один розвязок відносно

, то воно рівносильне диференційномурівняню , де

Якщо ж диференціальне рівняння (3) має декілька розв’язком відносно

, то воно рівносильне сукупності диференціальних рівнянь.

де

Зниження порядку диференціальних другого порядку

Основним методом інтегрування (знаходження загального розвязку або загального інтеграла) диференціальних рівнянь вищого порядку є зниження їх порядку і зведення до інтегрування диференціальних рівнянь першого порятку. Розглянемо деякі можливі видатки зниження порядку диференціальних рівнянь другого порядку.

1. Диференціальне рівняння не містить невідомої функції у, тобто має вигляд:

(7).

У цьому випадку робимо заміну

і отримуємо диференціальне рівняння першого порядку стосовно невідомої функції Z:

Якщо знайдемо загальний розв’язок

, рівнянь (8) то далі інтегруємо рівняння ; якщо ж знайдемо загальний інтеграл то для знаходження розв’язків диференціального рівняння (7) отримуємо наявне диференціальних рівнянь першого порятку

2. Диференціальне рівняння не містить явно аргументах х, тобто має вигляд

(9)

У розв’язаному випадку приймаємо за невідому функцію

а й аргументи вважаємо у. Тоді маємо:

Підставимо вирази для у’,y” у рівняння (9), отримаємо відносно функцію

диференціальних рівнянь першого порядку:

(10)

Якщо знайдемо загальний розв’язок

рівняння (10), то дані інтнгруєм явне диференціальне рівняння першого порядку яке є з розв’язком функції змінними; якщо ж знайдено загальний інтеграл рівняння (17.10), то дані інтегруємо наявне диференційне рівняння першого порядку.

Диференціальне рівняння (3) є однорідним відносно функції у та її похідних

і

тобто

У цьому випадку виконуємо заміну

де z = z (x). Знаходимо Підготовимо вирази для

та

у рівняння (3) і використовуємо його однорідність:

У результаті приходимо до диференціальних рівнянь першого порятку стосовно функції

(11)

яке з точністюдо розвязку

рівносильне рівняню (3)

Якщо знайдемо загальний розвязок

рівняння (11), то речі інтегруємо розв’язане дифененційне рівняння першого порядку , яке є з відокремлюваними змінними; якщо ж знайдемо загальний інтеграл то приходимо до інтегрування наявного диференціального рівняння першого порядку:

При зниженні порядку вихідного рівняння міг бути втрачений його розв’язок у=0. Але він не втрачений, отримуємо із загального розв’язку при

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку

Диференціальні рівняння розв’язку порядку (3) називається лінійним, якщо функція,

є лінійно відносно тобто якщо воно має вигляд

(12)

Будемо вважати, що розв’язком

і вільний член q(x) x є(a,b) i

.

Якщо

то маємо відповідне лінійне однорідне рівняння

(13)

Якщо

,то рівняння (12) називають лінійним не однорідним диференціальним рівняння другого порядку.

Питання для перевірки

1. Що називається диференціальним рівнянням вищого порядку ?

2. Задача Коші.

3. Основні методи інтегрування.

4. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.

Тестові завдання

1. Диференційні рівняння вищого порядку стосовно функції у(х) має вигляд:

1.

2.

3.

2.Функція (вписати відповідь) де

і довільні сталі називається загальним розв’язком диференційованого рівняння другого порядку, якщо вона є розв’язком цього рівняння для розв’язком функції і і з якої за рахунок вибору значень цих сталих можна отримати будь-який розв’язок цього рівняння (за винятком може окремих).

3. Співвідношення

яким певно додається загальний розв’язок диференціального рівняння 2-го порядку, називається (вписати відповідь) цього рівняння.

4. Диференціальне рівняння не містить невідомої функції у, тобто має вигляд:

1.

2.