Диференціальні рівняння вищих порядків (стр. 3 из 4)
3.
5.Розв’язок який отримуємо із загального диференціального рівняння 2-го порядку, падаючи 
і 
певних числових значень, називається числовим (вписати відповідь) цього рівняння.
6. Графік функції 
називається при цьому(вписати відповідь)диференціального рівняння (3) чи (4).
7. Диференціальні рівняння розв’язку порядку (3) називається лінійним, якщо функція,
є лінійно відносно 
тобто якщо воно має вигляд1. 
2.
3. 
8. Співвідношення … яким певно додається загальний розв’язок диференціального рівняння 2-го порядку, називається загальним інтегралом цього рівняння:
1.
2. 
3.
9. З теореми існування та розв’язку задачі Коші для рівняння (4) випливає, що при виконанні умов теореми в деякому околі точки
існує загальний розв’язок 
цього рівняння, з розв’язком якого отримати розв’язок задачі Коші, визначивши значення сталих і 
із системи рівнянь:1.
2.
3.
Задачі
Задача 1. Знайти розв’язок диференційoваного рівняння
що задовольняє умови 
Розв’язання. Загальний розв’язок цього рівняння легко знайти шляхом інтегрування заданої рівності, бо тоді розв’язком функції 
, друга похідна яких дорівнює 6х:
загальний розв’язок рівняння.
Задача 2. Знайти розв’язок рівняння
, який звдовольняє умови: 
.Розв’язання. Оскільки у рівнянні явно не входить аргумент х, то знижуємо його порядок підстановкою
з якої випливає, що 
Підставити вирази для
і 
, у дане рівняння, отримаємо диференціальне рівняння першого порядку 
яке рівносильне сукупності рівнянь:
Інтегруємо друге рівняння, яке є з відокремлюваними змінними:
.При відокремлені зміних втраченими могли бути розвязки 
і 
. Ці розв’язки не є втраченими, бо перший з них співпадає з першим рівнянням сукупності, а другий отримуємо з сімї
при 
Отже, множина всіх розв’язкв дискретного рівняння у змінних y i z записується сукупністю розв’язком:
Враховуючи, що
з одержаних розв’язків з яких отримуємо дві сукупності диференційних рівнянь:
Одже множина розв’язків вихідного диференціального рівняння складається з двох цілей інтегральних кривих
і 
.Розв’язок, який задовольняє початкові умови у(1)=1, у’(1)= -1 входить у другу сімю, яка виражається загальним інтегралом
. З цього загального інтеграла вилучаємо розвязок, що задовольняє задані початкові умови. Для цього маємо систему рівнянь для визначення і : 
Таким чином, шуканий розв’язок задачі Коші має вигляд:
Задача 3. Проінтегрувати рівняння
знаючи, що 
є розв’язком відповідного однорідного рівняння.Розв’язання.Приймемо
і обчислемо похожі 
Підставимо вирази для 
у рівняння: 
Після елементарних перетворень отримуємо рівняння:
або
Виконуємо заміну z’=u і маємо лінійне диференціальне рівняння першого порядку
Інтегруємо відповідне однорідне рівняння:
Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння стосовно функції u шукаємо у вигляді
Підготовимо цю функцію в неоднорідне рівняння і знайдемоС(х):
Отже, загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння стосовно функції u записується у вигляді
Врахувавши, що
, одержуємо загальний розв’язок 
вихідного рівняння.
Задача 4. Розв’яжіть рівняння
Задача 5. Розв’язати рівняння
Відповіді на тестові завдання
1.
2. 
3. загальним інтегралом
4.
5. числовим розв’язком
6. інтегральною кривою
7.
8.
9.
Розв’язок до задач
Розв’язання до задачі 4.Дане рівняння не містить невідомої функції
, тому приймаємо, що 
і отримуємо диференціальних рівнянь першого порятку