Задачи по Математике
ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Задачи № 1-10. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.
9)
Решение
Задача № 1. Решить систему линейных алгебраических уравнений тремя способами: 1) методом Крамера, 2) с помощью обратной матрицы, 3) методом Гаусса.
1-й способ (метод Крамера).
По формулам Крамера, найдем решение:
2 способ (решение с помощью обратной матрицы).
Перепишем систему уравнений в виде AX = B, где
, 
, 
.Решение матричного уравнения имеет вид X = A-1B. Найдем обратную матрицу A-1. Имеем следующий главный определитель системы:
Вычислим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы:
, 
, 
, 
,
, 
, 
, 
,
.
Тогда обратная матрица имеет вид:
, следовательно, 
.Ответ: x = 2; y = -1;z = 3.
3 способ (метод Гаусса).
.Из последнего уравнения имеем z = 3; подставляя это значение во второе уравнение, получаем y = -1 и тогда из первого уравнения находим x = 2.
Задачи № 11 - 20. Найти производные функций:
15) а) 
; б) 
.
Решение
Задачи № 21-30. Найти общее и частное частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, соответствующего начальным условиям:
при 
, 
, 
.
21) 
;
Решение
Составим характеристическое уравнение имеет вид:
Следовательно, общее решение уравнения без правой части таково:
Так как n=1 не является корнем характеристического уравнения, то ищем частное решение уравнения с правой частью в виде 
Подставляя эти выражения в наше неоднородное уравнение, получим
Итак, частное решение уравнения с правой частью есть
Общее же решение этого уравнения на основании предыдущей теоремы имеет вид:
Найдем частные решения:
Задачи № 31-40
38) В группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, разыгрываются 5 путевок. Найти вероятность того, что среди обладателей путевок окажутся две девушки.
Решение
Задача решается с помощью классической формулы для вычисления вероятностей:
Ответ:
Задачи № 41-50
Закон распределения дискретной случайной величины Х задан в таблице. Найти: 1)математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 2) вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины
, пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии. | Номер задачи | Условие задачи | |||||
| 41 | xi | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| pi | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,2 | 0,2 | |
Решение
Расчет ведем по формулам для числовых характеристик дискретных случайных величин.
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
Для вычисления характеристик случайной величины Y=3X+20 воспользуемся свойствами математического ожидания и дисперсии:
Ответ:
Аудиторная контрольная работа по дисциплине «Математика»
Вариант № 1
1. Решить систему уравнений:
.Решение
Ответ: х=1, у=-1.
- Найти производную:
.Решение
- В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов окажутся 5 отличников.
Решение
Задача решается с помощью классической формулы для вычисления вероятностей:
Ответ:
4. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:
| xi | -4 | 6 | 10 |
| pi | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Решение
Расчет ведем по формулам для числовых характеристик дискретных случайных величин.
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
Ответ:
