Порушення основних припущень лінійного регресійного аналізу (стр. 11 из 16)

3) залишки

, „ідеальної” моделі некорельовані;

4) залишки

„ідеальної” моделі нормально розподілені випадкові величини з параметрами ;

5) дисперсія залишків

„ідеальної” моделі величина постійна.

2.2 Модель лінійної регресії, в якій дисперсія спостережень

величина змінна

Нехай

– незалежні нормально розподілені випадкові величини з середніми , лінійними за параметрами та дисперсією , що змінюється від спостереження до спостереження.

Параметри

невідомі, – відомі невипадкові величини.

За спостереженнями

, які описуються моделлю

, (2.2.1)

необхідно оцінити невідомі параметри

, перевірити адекватність лінійної моделі (2.2.1), значущість лінійної регресії , а також з’ясувати, чи виконуються основні припущення лінійного регресійного аналізу.

Стохастичний експеримент. Проведемо стохастичний експеримент, який полягає в моделюванні вибірок з нормальних розподілів з середніми, що дорівнюють сумі координат точок квадрата, і змінними дисперсіями:

Проста лінійна регресія. Знайдемо МНК – оцінки параметрів

та перевіримо гіпотези про адекватність та значущість лінійної моделі регресії. Також з’ясуємо, чи виконуються припущення в цій моделі.

Результати стохастичного експерименту, за умов, що змінна

, наведено на рисунку 2.2.1.

Рис. 2.2.1. Модель простої лінійної регресії, в якій дисперсія спостережень

величина змінна

Результати перевірки адекватності та значущості цієї моделі простої лінійної регресії наведено в таблиці 2.2.1.

Таблиця 2.2.1. Результати перевірки адекватності та значущості моделі простої лінійної регресії, в якій дисперсія спостережень

величина змінна

Джерело варіації	SS	df	MS	F
Обумовлена регресією	124615,2	1	124615,2	166,26
Відносно регресії	478200,8	638	749,5
Відносно середнього	602816	639
Неадекватність	3025,8	6	504,3	0,67
"Чиста помилка"	475175	632	751,9

F1 = 0,67 < 2,11 = F0,05;6;632, лінійна модель адекватна.

F2 = 166,26 > 3,86 = F0,05;1;638, регресія

значуща.

|t1| = 0,04 < 1,96 = t0,025;638, гіпотеза

не відхиляється.

|t2| = 0,38 < 1,96 = t0,025;638, гіпотеза

не відхиляється.

Перевіримо припущення про некорельованість залишків

за допомогою критерію Дарбіна-Уотсона. Статистика критерію . Оскільки , то залишки цієї моделі некорельовані.

Рис. 2.2.2. Графік залишків – дисперсія змінюється

Гіпотезу про нормальний розподіл залишків

перевіримо за допомогою критерію .

Рис.2.2.3. Нормальний розподіл залишків

Статистика

,тому залишки не можна вважати нормально розподіленими.

Статистика Бартлетта

, тому дисперсія залишків змінна величина.

Отже,

1) лінійна модель адекватна;

2) регресія

значуща (гіпотеза не відхиляється; гіпотеза відхиляється, а гіпотеза не відхиляється);

3) залишки

некорельовані;

4) залишки

не можна вважати нормально розподіленими;

5) дисперсія залишків

змінна величина.

Лінійна регресія з двома незалежними змінними. Знайдемо МНК – оцінки параметрів

та перевіримо гіпотези про адекватність та значущість лінійної моделі регресії. Також з’ясуємо, чи виконуються припущення в цій моделі.

Результати стохастичного експерименту, за умов, що незалежні змінні

обрані згідно з рис. 2.1.1, наведено на рисунку 2.2.4.

Рис. 2.2.4. Модель лінійної регресії, в якій дисперсія спостережень

величина змінна

Результати перевірки адекватності та значущості цієї моделі лінійної регресії наведено в таблиці 2.2.2.

Таблиця 2.2.2. Результати перевірки адекватності та значущості моделі лінійної регресії, в якій дисперсія спостережень

величина змінна

Джерело варіації	SS	df	MS	F
Обумовлена регресією	209188,2	2	104594,1	132,29
Відносно регресії	503614,7	637	790,6
Відносно середнього	712802,9	639
Неадекватність	32906,7	61	539,5	0,66
"Чиста помилка"	470708,0	576	817,2

F1 = 0,66 < 1,34= F0,05;61;576, лінійна модель адекватна.

F2 = 132,29 > 3,01= F0,05;2;637, регресія

значуща.

|t1| = 1,09 < 1,96 = t0,025;637, гіпотеза

не відхиляється.

|t2| = 1,88 < 1,96 = t0,025;637, гіпотеза

не відхиляється.

|t3| = 0,38 < 1,96 = t0,025;637, гіпотеза

не відхиляється.

Перевіримо припущення про некорельованість залишків

за допомогою критерію Дарбіна-Уотсона. Статистика критерію . Оскільки , то залишки цієї моделі некорельовані.