Порушення основних припущень лінійного регресійного аналізу (стр. 12 из 16)

Рис. 2.2.5. Графік залишків – смуга постійної ширини

Гіпотезу про нормальний розподіл залишків

перевіримо за допомогою критерію .

Рис. 2.2.6. Нормальний розподіл залишків

Статистика

,тому залишки не можна вважати нормально розподіленими.

Статистика Бартлетта

, тому дисперсія залишків змінна величина.

Отже,

1) лінійна модель адекватна;

2) регресія

значуща (гіпотеза не відхиляється; гіпотеза відхиляється, гіпотеза не відхиляється, гіпотеза не відхиляється);

3) залишки

некорельовані;

4) залишки

не можна вважати нормально розподіленими;

5) дисперсія залишків

змінна величина.

2.3 Модель лінійної регресії, в якій спостереження

величини залежні

Нехай

– залежні нормально розподілені випадкові величини з однаковою дисперсією та середніми , лінійними за параметрами .

Параметри

невідомі, – відомі невипадкові величини.

За спостереженнями

, які описуються моделлю

, (2.3.1)

необхідно оцінити невідомі параметри

, перевірити адекватність лінійної моделі (2.3.1), значущість лінійної регресії , а також з’ясувати, чи виконуються основні припущення лінійного регресійного аналізу.

Стохастичний експеримент. Проведемо стохастичний експеримент, який полягає в моделюванні вибірки

з нормального розподілу з параметрами 0 та 1.

Наступні 7 вибірок рахуються за формулою

,

де сталі

– елементи послідовності Фібоначчі, а саме: .

Проста лінійна регресія. Знайдемо МНК – оцінки параметрів

та перевіримо гіпотези про адекватність та значущість лінійної моделі регресії. Також з’ясуємо, чи виконуються припущення в цій моделі.

Результати стохастичного експерименту, за умов, що

, наведено на рисунку 2.3.1.

Рис. 2.3.1. Модель лінійної регресії, в якій спостереження

величини залежні

Результати перевірки адекватності та значущості цієї моделі простої лінійної регресії наведено в таблиці 2.3.1.

Таблиця 2.3.1. Результати перевірки адекватності та значущості моделі простої лінійної регресії, в якій спостереження

величини залежні

Джерело варіації	SS	df	MS	F
Обумовлена регресією	0,97	1	0,97	0,03
Відносно регресії	22892,15	638	35,88
Відносно середнього	22893,13	639
Неадекватність	9,81	6	1,64	0,05
"Чиста помилка"	22893,13	632	36,21

F1 = 0,05 < 2,11 = F0,05;6;632, лінійна модель адекватна.

F2 = 0,03 < 3,86 = F0,05;1;638, регресія

незначуща.

|t1| = 0,29 < 1,96 = t0,025;638, гіпотеза

не відхиляється.

|t2| = 100 > 1,96 = t0,025;638, гіпотеза

відхиляється.

Рис. 2.3.2. Графік залишків – дисперсія змінюється

Гіпотезу про нормальний розподіл залишків

перевіримо за допомогою критерію

.

Рис.2.3.3. Нормальний розподіл залишків

Статистика

,тому залишки не можна вважати нормально розподіленими.

Статистика Бартлетта

, тому дисперсія залишків змінна величина.

Отже,

1) лінійна модель адекватна;

2) регресія

незначуща (гіпотеза не відхиляється; гіпотеза не відхиляється, а гіпотеза відхиляється);

3) залишки

некорельовані;

4) залишки

не можна вважати нормально розподіленими;

5) дисперсія залишків

змінна величина.

Лінійна регресія з двома незалежними змінними. Знайдемо МНК – оцінки параметрів

та перевіримо гіпотези про адекватність та значущість лінійної моделі регресії. Також з’ясуємо, чи виконуються припущення в цій моделі.

Результати стохастичного експерименту, за умов, що незалежні змінні

обрані згідно з рис. 2.1.1, наведено на рисунку 2.3.4.

Рис. 2.3.4. Модель лінійної регресії, в якій спостереження

величини залежні

Результати перевірки адекватності та значущості цієї моделі лінійної регресії наведено в таблиці 2.3.2.