Отже,
1) лінійна модель адекватна;
2) модель
незначуща (гіпотеза відхиляється; гіпотеза не відхиляється, гіпотеза відхиляється);3) залишки
некорельовані;4) залишки
не можна вважати нормально розподіленими;5) дисперсія залишків
змінна величина.Лінійна регресія з двома незалежними змінними. Знайдемо МНК – оцінки параметрів
та перевіримо гіпотези про адекватність та значущість лінійної моделі регресії. Також з’ясуємо, чи виконуються припущення в цій моделі.Результати стохастичного експерименту, за умов, що значення
обиралися згідно рис.2.1.1, наведено на рисунку 2.5.4.
Рис. 2.5.4. Модель лінійної регресії, в якій спостереження показниково розподілені
Результати перевірки адекватності та значущості цієї моделі простої лінійної регресії наведено в таблиці 2.5.2.
Таблиця 2.5.2. Результати перевірки адекватності та значущості моделі простої лінійної регресії, в якій спостереження показниково розподілені
Джерело варіації | SS | df | MS | F |
Обумовлена регресією | 9,3 | 2 | 9,3 | 1,49 |
Відносно регресії | 1989,79 | 637 | 3,12 | |
Відносно середнього | 1999,09 | 639 | ||
Неадекватність | 176,57 | 61 | 2,89 | 0,92 |
"Чиста помилка" | 1813,22 | 576 | 3,15 |
F1 = 0,92 < 1,34 = F0,05;61;576, лінійна модель адекватна.
F2 = 1,49 < 3,01 = F0,05;2;637, регресія
незначуща.|t1| = 8,42 > 1,96 = t0,025;637, гіпотеза
відхиляється.|t2| = 99 > 1,96 = t0,025;637, гіпотеза
відхиляється.|t3| = 100 > 1,96 = t0,025;637, гіпотеза
відхиляється.Перевіримо припущення про некорельованість залишків
за допомогою критерію Дарбіна-Уотсона. Статистика критерію . Оскільки , то залишки цієї моделі некорельовані.
Рис. 2.5.5. Графік залишків – смуга постійної ширини
Гіпотезу про нормальний розподіл залишків
перевіримо за допомогою критерію .
Рис. 2.5.6. Нормальний розподіл залишків
Статистика
, тому залишки не можна вважати нормально розподіленими.Статистика Бартлетта
, тому дисперсія залишків змінна величина.Отже,
1) лінійна модель адекватна;
2) регресія
незначуща (гіпотеза відхиляється; гіпотеза не відхиляється, гіпотеза відхиляється, гіпотеза відхиляється);3) залишки
некорельовані;4) залишки
не можна вважати нормально розподіленими;5) дисперсія залишків
змінна величина.ВИСНОВКИ
Нехай
– результат спостереження, який описується лінійною моделлю виду (1)де
– регресійна матриця розміру , , – вектор невідомих параметрів, – вектор похибок спостережень.Припущення відносно вектора спостережень
позначатимемо : .(2)Або, що те ж саме, припущення відносно вектора похибок
мають вигляд: (3)Вихідні припущення (2) або (3) регресійного аналізу виконуються далеко не завжди. Виникає низка питань: як виявити порушення цих припущень? В яких випадках і які порушення можна вважати припустимими? Що робити, якщо порушення виявляються неприпустимими?
Метою роботи є вивчення наслідків порушення основних припущень (3) лінійного регресійного аналізу, а саме:
1) припущення про незміщеність похибок
; (4)2) припущення про однакову дисперсію і некорельованість похибок
(5)3) припущення про нормальний розподіл похибок
; (6)4) припущення про незалежність спостережень
. (7)Наслідки порушення припущень (4)-(7) розглянемо на прикладі лінійної регресії з двома незалежними змінними.
«Ідеальною» моделлю лінійної регресії з двома незалежними змінними називатимемо модель виду
(8)«Ідеальна» модель – це модель (1) з коефіцієнтами
.Опишемо вибір невипадкових змінних
.Квадрат
розіб’ємо на 16 однакових квадратів розміром . В кожному з них оберемо 4 точки, які виступають вершинами квадратів розміром . Ці 64 вершини квадратів і обрані за значення, які набувають невипадкові змінні .Рис. 1. Вибір значень , які набувають невипадкові змінні
Проведемо стохастичний експеримент, який полягає в моделюванні спостережень згідно з моделлю (8).