Смекни!
smekni.com

Порушення основних припущень лінійного регресійного аналізу (стр. 4 из 16)

У виразі для

константи
, оскільки
можна розглядати як величини.

Отже, дисперсія оцінки

дорівнює

(1.6.1)

Стандартне відхилення оцінки

– це корінь квадратний з дисперсії

(1.6.2)

Оскільки

невідома, то заміть неї використовується оцінка
, припускаючи, що модель коректна.

Нагадаємо, що середній квадрат

дорівнює

Тоді оцінка стандартного відхилення

дорівнює

(1.6.3)

Перепишемо її у вигляді

Якщо розсіювання спостережень відносно лінії регресії нормальне, тобто, всі похибки

розподілені нормально з параметрами
, то
%-вий довірчий інтервал для параметра
має вигляд

(1.6.4)

і містить невідомий параметр з імовірністю

.

З іншого боку, якшо це доцільно, то ми можемо перевірити гіпотезу

(
– const) проти альтернативи
.

-критерій. Якщо гіпотезу
відхиляти при

(1.6.5)

і не відхиляти в супротивному разі, то з імовірністю

гіпотеза
відхиляється, коли вона справедлива.

Після того, як ми знайшли довірчий інтервал для

, немає необхідності знаходити величину
для перевірки гіпотези за допомогою t-критерію. Дійсно, досить дослідити довірчий інтервал для
і подивитись, чи містить він значення
. Якщо довірчий інтервал містить
, то гіпотеза
не відхиляється, і відхиляється у супротивному разі.

Отже, гіпотеза

відхиляється, якщо

,

,

тобто

лежить за межами, які відповідають (1.6.4).

1.7 Довірчий інтервал для

. Стандартне відхилення вільного члена

В підрозділі 1.2 за допомогою МНК-метода знайдено оцінку параметра

Порахуємо дисперсію оцінки

:

(1.7.1)

Тоді стандартне відхилення оцінки

дорівнює:

(1.7.2)

Оскільки дисперсія

невідома, то замість неї використовується оцінка
, припускаючи, що модель коректна

(1.7.3)

%-ий довірчий інтервал для параметра
має вигляд

і містить невідомий параметр з імовірністю

.

-критерій. Якщо гіпотезу
(
– const) відхиляти при

і не відхиляти в супротивному разі, то з імовірністю

гіпотеза
відхиляється, коли вона справедлива.

Перевірити гіпотезу

можна й за допомогою довірчого інтервалу для
.

Необхідно записати довірчий інтервал для

і подивитись, чи містить він значення
. Якщо довірчий інтервал містить
, то
не відхиляється, і відхиляється у супротивному разі.

1.8 Довірча смуга для регресії

Спочатку розглянемо лінійні комбінації

, де
– const,

, де
– const,

В припущеннях некорельованості

при
(
при
)
, обчислимо
.

В підрозділі 1.2 було знайдено рівняння простої лінійної регресії:

.

Нехай

, тоді
, звідси
.

А

, тоді
, звідси
.