Порушення основних припущень лінійного регресійного аналізу (стр. 5 из 16)

Отже,

тобто

і некорельовані випадкові величини.

Порахуємо дисперсію

(або при заданому ).

(1.8.1)

Стандартне відхилення оцінки

при заданому є

(1.8.2)

Оскільки

невідома, то замість неї використовують оцінку , припускаючи, що модель коректна.

Оцінка стандартного відхилення має вигляд:

(1.8.3)

Ця величина досягає мінімального значення, коли

, і зростає при віддаленні від в будь-якому напрямі.

%-ві довірчі інтервали для регресії мають вигляд:

або, що те ж саме,

Чим більша різниця між та , тим більше відхилення між та (довжина довірчого інтервалу). Останнє означає, що точність прогнозу різна в різних точках .

Дві криві по обидві сторони від лінії регресії визначають

%-ві довірчі границі й показують, як змінюються границі в залежності від зміни . Ці криві – гіперболи.

Для того, щоб одержати ці криві, необхідно з’єднати неперервною лінією всі значення

при всіх (нижня гіпербола) та при всіх (верхня гіпербола).

1.9 Повторні спостереження. Неадекватність і “чиста” помилка

Побудована лінія регресії – це розрахункова лінія, яка базується на деякій моделі або припущеннях. Але припущення потрібно розглядати як попередні. При деяких обставинах (умовах) можна перевірити, чи коректна (адекватна) побудована модель.

Розглянемо випадок, коли в даних містяться повторні спостереження. Введемо додаткові позначення для множини спостережень при одному й тому ж значенні

.

Нехай

– спостережень при ,

– спостережень при ,

. . . . . . . . .

– спостережень при ,

при цьому

.

Якщо спостереження повторюються (два рази або більше) при однакових значеннях

, то ми можемо використати ці повторення для знаходження оцінки для дисперсії . Про таку оцінку говорять, що вона представляє “чисту помилку”, оскільки, якщо однакові, наприклад, для двох спостережень, то тільки випадкові варіації можуть впливати на результати і створювати розсіювання між ними. Такі відмінності, як правило, забезпечують одержання надійної оцінки для . Тому при плануванні експериментів має сенс ставити експерименти з повтореннями.

Оцінка величини

, пов’язана з “чистою помилкою”, знаходиться так.

Сума квадратів, пов’язана з “чистою помилкою” при

дорівнює

, де

Число ступенів вільності цієї суми

.

Сума квадратів, пов’язана з “чистою помилкою” при

дорівнює

, де

Число ступенів вільності цієї суми

і т. д.

Загальна сума квадратів, пов’язана з “чистою помилкою”дорівнює

з загальним числом ступенів вільності

Звідси середній квадрат для “чистої помилки” дорівнює

(1.9.1)

і є оцінкою для

.

Покажемо, що сума квадратів, пов’язана з “чистою помилкою”, є частиною суми квадратів залишків (суми квадратів відносно регресії).

Залишок для

-того спостереження при можна записати у вигляді:

Піднесемо праву та ліву частини рівності до квадрату.

Візьмемо суму по кожному з індексів

та .

(1.9.2)

при цьому

.

Суму (1.9.2) можна записати так

Сума Сума квадратів Сума

квадратів = “чистих + квадратів (1.9.3.)

залишків помилок” неадекватності

Число ступенів вільності:

Отже, суму квадратів “чистих помилок” можна ввести в таблицю дисперсійного аналізу.

Таблиця 1.9.1. Таблиця дисперсійного аналізу

Джерело варіації	Числоступеніввільності	Сума квадратів	Середній квадрат	Статистика
Відносно середнього
Обумовлена регресією
Відносно регресії
Неадекватність
„Чиста помилка”

Критерій для перевірки адекватності моделі регресії можна сформулювати так.