Порушення основних припущень лінійного регресійного аналізу (стр. 6 из 16)

Якщо

(1.9.4)

то відношення є значущим (лінійна модель неадекватна), при цьому, чим обумовлена неадекватність можна вивчити, дослідивши залишки; в супротивному випадку:

(1.9.5)

відношення є незначущим (лінійна модель адекватна), при цьому як

, так і можна використовувати як оцінки для .

Об’єднана оцінка для

може бути знайдена з суми квадратів “чистої помилки” і суми квадратів “неадекватністі” шляхом їх об’єднання у суму квадратів залишків і поділу її на число ступенів вільності .

Якщо виявлено неадекватність моделі, то необхідно будувати іншу модель (нелінійну).

1.10 Деякі відомості з математичної статистики

1.10.1 Критерій

(гіпотетичний розподіл визначений)

Постановка задачі. Нехай

– реалізація вибірки з невідомого розподілу , відносно якого висувається гіпотеза , де належить заданому класу розподілів (зокрема, може бути повністю визначеним розподілом). Гіпотезу можна сформулювати і так: є вибіркою з розподілу із заданими властивостями.

Необхідно за реалізацією вибірки

дійти висновку: відхиляти гіпотезу чи ні.

Відхилення емпіричного розподілу від гіпотетичного. Незалежно від того, справджується гіпотеза

чи ні, емпіричний розподіл , побудований за вибіркою з , а саме, для кожного фіксованого значення емпіричної функції розподілу є незміщеною і спроможною оцінкою . Тому, якщо ввести відхилення емпіричного розподілу від гіпотетичного , причому так, щоб воно набирало малих значень, коли гіпотеза справджується, і великих, коли гіпотеза не справджується (а це видається цілком можливим, оскільки мало відрізняється від ), то гіпотезу природно відхиляти або не відхиляти залежно від того, якого значення набрало відхилення - великого чи малого.

Відхилення Пірсона емпіричного розподілу

від гіпотетичного . Відхилення між двома розподілами: - емпіричним, побудованим за вибіркою , і –гіпотетичним, заданими на множині вибіркових значень (на вибірковому просторі), можна будувати різними способами. Далі описано відхилення від , запропоноване Пірсоном. Воно будується так. Ділимо на скінчене число неперетинних множин :

.

І як відхилення

від розглядаємо

(1.10.1.1)

де

- імовірність того, що вибіркове значення потрапить до множини , обчислена за гіпотетичним розподілом (тобто )); – імовірність вибірковому значенню потрапити до множини , обчислена за емпіричним розподілом ; чисельно ця ймовірність дорівнює частоті вибірковому значенню потрапити до множини , знайденій за вибіркою ( – кількість вибіркових значень з , що потрапили до ).

Далі, якщо

, то є ймовірність вибірковому значенню потрапити до , обчислена за розподілом , з якого добуто вибірку , а тому для кожного частоти вибіркового значення потрапити до є незміщеними і спроможними оцінками ймовірностей . І отже, відхилення є малим порівняно з відхиленням від , обчисленими за розподілом , відмінним від . А разом із ними малим є відхилення порівняно з відхиленням , коли розподіл відмінний від (більш того, – мінімально можливе відхилення).