Смекни!
smekni.com

Порушення основних припущень лінійного регресійного аналізу (стр. 8 из 16)

Якщо гіпотеза

справедлива, то статистика
розподілена приблизно як
, причому така апроксимація виявляється задовільною і при досить малих вибірках (
). На жаль, цей критерій надто чутливий до будь-якого відхилення від нормальності величин, що складають кожне
. Значимість статистики
може вказувати не на відсутність однорідності дисперсії, а просто на відхилення від нормальності.

1.11 Аналіз залишків

Електронні обчислювальні машини дають нам можливість обчислення відхилень кожного серед значень

, що спостерігались, від апроксимуючої регресії
. Ці різниці називаються залишками і позначаються символами

,

Критерій Дарбіна-Уотсона.

Нехай нам треба підібрати постульовану лінійну модель

(1.11.1)

методом найменших квадратів за спостереженнями

. Зазвичайми повинні припускати, що похибки
– незалежні випадкові величини з розподілом
, тобто всі серіальні кореляції
. За допомогою критерію Дарбіна-Уотсона можна перевірити гіпотезу
про те, що всі
проти альтернативної гіпотези
: залишки пов’язані корельовано лінійною залежністю

,

де

.

Для перевірки гіпотези

проти альтернативи
будуємо модель за рівнянням (1.15.1) і знаходимо набір залишків
. Тепер можна побудувати статистику

(1.11.2)

і визначити на її основі, чи можна відхиляти гіпотезу

.

Критичні точки статистики Дарбіна-Уотсона табульовані.

Знаходимо верхню

і нижню
границі (вони залежать від числа
в моделі і кількості спостережень
).

Якщо

, то залишки додатньо автокорельовані.

Якщо

, то залишки некорельовані.

Якщо

, то залишки від’ємно корельовані.

Якщо

або
, то необхідно збільшити кількість спостережень.

1.12 Лінійна множинна регресія з двома незалежними змінними

Нехай

– результати спостережень, які описуються моделлю:

(1.12.1)

Основні припущення мають вигляд:

Значення змінних

відомій ці змінні незалежні. Необхідно знайти оцінки невідомих параметрів
.

Використаємо МНК-метод:

Отримаємо систему нормальних рівнянь для моделі (1.12.1). Ця система включає систему нормальних рівнянь простої лінійної регресії.

(1.12.2)

знаходяться з першого та другого рівнянь останньої системи.

Отримали рівняння регресії:

Матричний спосіб знаходження

.

;
;
;
;

– транспонована матриця.

Систему (1.12.2) перепишемо у вигляді:

Або в матричному виді:

Домножимо праву та ліву частини на

.

Звідси

.

Або, що те ж саме,

.

У множинній лінійній регресії на значущість треба перевіряти всю регресію, а також окремі коефіцієнти регресії. В першому випадку використовується загальний

-критерій, а у другому – частинний
-критерій.

Загальний

-критерій.

Для перевірки гіпотези

використовується
-критерій, в якому

Загальна сума квадратів

,

де

Сума квадратів залишків

Сума квадратів, обумовлена регресією

Джерело варіації SS df MS F
Регресія
2
Залишки
Загальна

-критерій перевірки значущості.