Математические модели задач и их решение на ЭВМ (стр. 2 из 2)

ПРОИГРЫШИ:

Минимальный проигрыш составит 2,5, что соответствует 5-ому оптимальному решению.

ЗАДАНИЕ №6.

По экспериментальным данным опроса восьми групп семей о расходах на продукты питания, в зависимости от уровня дохода семьи, приведенным в таблице, требуется:

1. Построить линейную однофакторную модель зависимости расходов на питание от дохода семьи.

2. Определить коэффициент корреляции и оценить тесноту связи между доходами семьи и расходами на питание.

3. Определить коэффициент детерминации и коэффициент эластичности, объяснить их смысл.

4. Определить среднюю по модулю относительную ошибку аппроксимации и оценить точность построенной модели.

Доходы семьи (х), тыс.грн.	2.2	3,6	4,2	5,8	6,7	7,9	8,6	10,6
Расходы на продукты (у)	1,2	2,0	2,6	2,9	3,1	3,9	4,5	5

РЕШЕНИЕ. Подготовим вспомогательную таблицу:

Табл 1

Табл 2

1. По формуле определим коэффициенты а₀, и а₁.

А₀= ∑уi*∑xi^2-∑xiyi*∑xi / n*∑x^2-∑xi*∑xi

Ai=n*∑xiyi-∑xi*∑yi /n*∑x^2-∑xi*∑xi.

Тогда регрессионная модель, согласно формуле, запишется:

Y^=А0+Аi*x

Построим график зависимости и отметим экспериментальные точки.

2. Для полученной модели определим:

А) коэффициент корреляции по формуле и оценим тесноту связи между доходами семьи и расходами на питание.

Xcp=∑xi/nYcp=∑yi/nXYcp=∑xiyi/n

Для этого вычислим средние значения доходов и расходов при помощи EXCEL. Расчеты приведены в табл 2

3. Хср= 49.6/8 = 6.2; Уср= 25.2/8 = 3.2 XcpУср=180,9/8 = 22,6.

Для вычисления среднеквадратических ошибок Sy, Sx имеем формулу:

Sy=√∑(yi-y^i)/n Sx=√∑(xi-x^)^2/n

Коэффициент корреляции вычислим по формуле:

rxy=xy^-x^*y^/sy*sx

3. Рассчитаем коэффициент детерминации: R²xy = 0,972111224. Значит, 97,2% величины расходов семьи на питание зависит от изменения доходов семьи, а остальные 2,8% связаны с изменением других, не включенных в модель факторов.

Вычислим коэффициент эластичности:

Эху=aix^/y^

С увеличением доходов семьи на 1% расходы на питание увеличатся в среднем на 0,8781%.

3. Найдем среднюю по модулю линейную относительную ошибку аппроксимации по формуле: d=1/n*∑(yi-y^)

Коэффициент низкий что значит точность построения модели высока.

ЗАДАНИЕ №7.

1. По исходным данным из задачи 6 рассчитаем Se, Sa₀, Sa₁ по формулам. Для этого подготовим таблицу:

Se = √1/n-2*∑e^2

Sa₀₌_Se_*_√∑x^2/∑(xi-x^)^2

Sa₁= Se*√ 1/∑(x-x^)^2

Согласно задаче имеем:

А₀ = 0,3837079А₁ = 0,4461762. для вычисления фактических значений t-критерия воспользуемся формулами: t_a₀ = a₀/ Sa₀= 1.84707; t_a₁ = 14,4617.

По таблице 1 приложения А найдем табличное значение t-критерия для степеней свободы df= 8-1-1 = 6 и уровня зависимости 6%,т.е. t_табл = 1,943.

При уровне значимости 6% имеет место неравенство:

t_a₁= 0,073525 ‹ t_табл = 1,943. Значит, с уверенностью 94% можно утверждать, что оценка А₁ = 0,747263097 не является статистически значимой.

Аналогично проверим для другого параметра. t_a₀ = 1,743736 ‹ t_табл = 1,943, значит оценка А₀ = 0,123251901 также не является статистически значимой.

2. Значимость уравнения регрессии в целом и коэффициента тесноты связи R²определяется с помощью критерия Фишера. Значение оценки R²получено в предыдущей задаче, R² = 0,968583448. Фактическое значение F_фактопределяем по формуле: F_факт= 184,9821.

Табличное значение F_табл определяем по таблице:F_табл= 5,99.

Поскольку F_факт= 184,9821› F_табл= 5,99, то с уверенностью 94% делается заключение о том, что уравнение регрессии в целом статистически значимо и статистически значим показатель степени связи R², т.е. отвергается нулевая гипотеза о том, что R²= 0.

ЗАДАНИЕ №8.

Имеются следующие исходные данные:

Годы	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Объем реализации	10,84	11,12	10,6	11,31	11,62	12,0	12,73	11,12

Коэффициент достоверности аппроксимации для каждого типа линии тренда

1) Линейная у= 0,1795х – 347,71 R^2=0.4163

2) Логорифмическая у=359,19 Ln(x)-2718,8 R^2=0.1464

3) Степенная y=3E-102x^31.059 R^2=0.422

4) Экспонтенциальная у=4Е-13е^0.01558xR^2=0.4218

Как видно из рисунка в 2005г в сравнении с 2004г в среднем реализация продукции увеличилась на 0,42 млн. грн.

ЗАДАНИЕ №9.

Имеются данные испытаний нескольких величин по результатам обследования десяти статистически однородных филиалов фирмы, приведенные в таблице. х₁- фондовооруженность, х₂ – энерговооруженность, у – производительность труда.

Выполнить следующее:

1. Построить линейную регрессионную модель при помощи ПЭВМ.

2. Выполнить команду «Регрессия».

3. Определить по результатам команды «Регрессия» значение коэффициента множественной корреляции и детерминации.

4. Проверить статистическую значимость оценок параметров модели.

5. Проверить статистическую значимость оценки степени достоверности взаимосвязи R²и всей модели в целом.

РЕШЕНИЕ.

1. построить регрессионную модель.

2. выполнить команду «Регрессия», результаты которой показаны ниже.

Рис. Результаты команда «Регрессия»

Регрессионная модель принимает вид:

у^ = 0929087*2,9+ - 0,4502*4,5-3,246374

3. Согласно Рис коэффициенты множественной корреляции и детерминации,в данном случае R = 0,993689; R² = 0,98742.

4. Статистическую значимость оценок параметров модели b,a₁,а₂осуществим с помощью t-критерия. Для этого определим его табличное значение и его фактические значения для каждого из оцениваемых параметров. По таблице 1 приложения А при уровне значимости 1% найдем табличное значение t-критерия для степеней свободы df= 10-2-1 = 7 и уровня зависимости 7%,т.е. t_табл = 3,143.

Фактическое значение t-критерия для каждого из оцениваемых параметров смотрим на рисунке в столбце t-статистика в нашем случае:

t-a1= 15,73834 ta2= - 0,855361 tb=15,97697

При уровне значимости 7%t-a1= 15,73834> t_табл имеет место равенство: Значит, с уверенностью 99% можно утверждать, что оценка А₁ параметра модели является статистически значимой.

Условие t_a₂= -0,855361< t_табл = 3,143 не выполняется, значит утверждаем, что этот критерий статистически не важен.

Условие t_в= 15.97697> t_табл = 3,143 выполняется, значит и эта оценка статистически значима в модели.

5. Значимость уравнения регрессии в целом и коэффициента тесноты связи R² определяем с помощью критерия Фишера. Фактическое F_факт=274,684752

Табличное значение F_табл определяем по таблице: F_табл = 9,55. Условие F_факт=274684752> F_табл = 9.55 выполняется, поэтому с вероятностью 99% делается заключение о том, что R²статистически значим, и уравнение регрессии в целом значимо, т.е. отвергается нулевая гипотеза R²= 0.