Математические модели задач и их решение на ЭВМ (стр. 1 из 2)

ЗАДАНИЕ № 1

Из пункта А в пункт Б ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. Наличный парк вагонов разных типов, из которых ежедневно можно комплектовать данные поезда, и количество пассажиров вмещающихся в каждом вагоне приведены в таблице.

Пропускная способность дороги не позволяет пройти в день более чем 10 поездам.

Определить оптимальное число скорых и пассажирских поездов, при которых будет перевозиться максимальное число пассажиров.

В данном случае неизвестными являются число скорых и пассажирских поездов Х1 и Х2

Составим математическую модель этой задачи.

Максимальное число пассажиров перевозимых данными поездами обозначим L. Тогда целевая функция будет иметь вид:

L= 0*(1*х1+1*х2)+58*(5*х1+8*х2)+40*(6*х1+4*х2)+32*(3*х1+1*х2) – max

Ограничение на искомое решение следующее:

1*х1+1*х2

5*х1+8*х2

6*х1+5*х2

3*х1+1*х2

Х1+х2<=10

ЗАДАНИЕ №2.

1. решить задачу геометрическим методом.

2. составить двойственную задачу для исходной.

2х₁+5х₂≥10

5х₁+2х₂≥10

3х₁+4х₂≤24

4х₁+3х₂≤24

Х₁-2х₂ ≤4

Z=3х₁+х₂→мах

Х₁≥0;Х₂≥ 0.

Х1+5x2>5

5x1+x2>5

X1+X2<7

3x1-4x2<12

-4x1+3x2<12

Z=4x1-3x2 – max

X1>0 X2>0

РЕШЕНИЕ

1. Поскольку рассматривается задача на максимум, то все ограничения следует привести к виду «≤». Для этого обе части первого и второго неравенств следует умножить на «-1». Получим: - -2х₁-5х₂≤-10

-5х₁-2х₂≤-10

3х₁+4х₂≤24

4х₁+3х₂≤24

Х₁≥0;Х₂≥ 0.

2. Составим расширенную матрицу системы.

-2 -5 -10

-5 -2 -10

А₁₌ 3 4 24

4 3 24

3 1 Z

3. Найти матрицу А_1т, транспонированную кА_1.

-2 -5 3 4 3

А_1т = -5 -2 4 3 1

-10 -10 24 24 Z

4. Сформулируем двойственную задачу:

Z= -10у₁ -10у₂ +24у₃ +24у₄ → min.

-2 у₁ - 5 у₂ + 3 у₃ + 4 у₄≥3

-5у₁ - 2у₂ + 4у₃ + 3у₄≥1

у₁ ≥0;у₂≥0;у₃≥0;у₄ ≥0.

ЗАДАНИЕ №3

Составить математическую модель задачи и решить ее на ЭВМ.

Найти оптимальный план перевозки, при котором транспортные расходы будут минимальны

Данные для каждого варианта приведены

1.тарифы перевозок единицы груза от каждого поставщика каждому потребителю

2.запасы груза каждого поставщика

3.потребности в грузе каждого потребителя.

РЕШЕНИЕ

А₁ + А ₂ + А ₃ + А ₄ + А ₅ = 30+20+10+27+30=117

В₁ + В₂ + В ₃ + В ₄ =30+40+50+10=130

Спрос превышает предложение и поэтому добавляем пятого фиктивного постивщика.130-117=13 Отсюда:

Х11+Х12+Х13+Х14+Х15 = 30

Х21+Х22+Х23+Х24+Х25 = 20

Х31+Х32+Х33+Х34+Х35 = 10

Х41+Х42+Х43+Х44+Х45 = 27

Х51+Х52+Х53+Х54+Х55 = 30

Х61+Х62+Х63+Х64+Х65=13

F = 7Х11+8Х12+5Х13+5Х14+5Х15+9Х16+1Х21+

+4Х22+2Х23+5Х24+9Х25+ 3Х31+5Х32+3Х33+8Х34+7Х35

+9Х36+2Х41+8Х42+7Х43+4Х44+5Х45+9Х46min.

ЗАДАНИЕ №4

Представители одной фирмы могут принять по три стратегии. Матрица эффективности стратегий фирм представлена в таблице.

1. Определить верхнюю и нижнюю цену игры.

2. Найти седловую точку. В случае ее отсутствия составить двойственные задачи мат.програмирования.

К\С	С 1	С 2	С 3
К 1	1	7	2
К 2	5	4	8
К 3	4	6	3
K 4	1	3	2

РЕШЕНИЕ

Нижняя цена игры вычисляется α = max_imin_jh_ij= max_i β_j, где α_i- наименьшее значение в i-той строке.

Верхняя цена игры вычисляется β = min_jmax_ih_ij= min_j β_j, где β_j= =max_ih_ij- наибольшее значение в j-том столбце.

К\С	С 1	С 2	С 3	αi
К 1	3	7	3	3
К 2	8	1	5	1
К 3	2	6	4	2
α=	1
βj	8	7	5	β=	8

Седловая точка отсутствует, значит нужно составить двойственную задачу.

ЗАДАНИЕ №5

Имеются данные эффективности выпуска новой продукции при различных вариантах решений (стратегий) и различных состояниях среды (природы), таблица 1. Выбрать наилучшее решение, стратегию используя критерии:

1. Максимакса

2. Вальда

3. Сэвиджа

4. Гурвица (коэффициент пессимизма р=0,3)

5. Байеса (вероятности для каждого состояния среды р₁=0,2, р₂=0,3, р₃=0,3, р₄=0,2)

6. Лапласа

ТАБЛИЦА 1.

ВАРИАНТЫ РЕШЕНИЙ	СОСТОЯНИЕ ПРИРОДЫ
	П1	П2	П3	П4
А1	7	13	9	15
А2	15	8	11	12
А3	12	6	13	10
А4	11	10	15	14
А5	8	15,5	12	15

РЕШЕНИЕ

1. По критерию максимакса наилучшим признается решение, при котором достигается максимальный выигрыш равный

М = max_imax_jh_ij = max_iM_i

Находим М=max_ih_ij, табл.2, т.е.максимальное значение в i-той строке.

ТАБЛИЦА 2.

М₁= 15, М₂= 15, М₃=13, М₄= 15, М₅= 15,5.

Максимальное значение М = max_iM_i= 15,5, значит решение А5оптимально.

2. Согласно критерию Вальда наиболее предпочтительным является решение, при котором W = max_imin_jh_ij = max_iW_i. Находим W_i= min_jh_ij, т.е. минимальное значение W в i-той строке.

Максимальное значение W=10, следовательно решение А4 является наилучшим.

3. В соответствии с критерием Сэвиджа предпочтение отдается решению, для которого максимальные потери при различных вариантах обстановки окажутся минимальными, т.е. достигается значение:

S = min_imax_jr_ij = min_iS_i.

Найдем матрицу потерь (табл.4 и 5): β_j= max_ih_ij; r_ij= β_j- h_ij.

ТАБЛИЦА 4. ВЫИГРЫШИ

ТАБЛИЦА 5. ПОТЕРИ.

Минимальное значение S = 7. Следовательно оптимальным решением является решение А5.

3. По критерию Гурвица предпочитается то решение, при котором G = max_i { min_ih_ij + (1- p) max_jh_ij } = max_iG_i.

Находим G_i= pW_i + (1-p)M_i, р=0,3 по условию задачи.

Находим Gmax = 17,4 значит решение А2 является оптимальным.

4. Согласно критерию Байеса наилучшим является решение, при котором достигается максимум математического ожидаемого выигрыша (или минимум среднеожидаемого риска).

Вероятности для каждого состояния среды по условию задачи таковы:

р₁=0,2, р₂=0,3, р₃=0,3, р₄=0,2. Определяем математическое ожидание выигрышей по каждому решению: МВ1 = ∑р_ih_ij.

Определяем максимум ожидаемого математического выигрыша. Он равен 12,85, что соответствует четвертому решению, которое, следовательно, и является оптимальным.

Определяем среднеожидаемый риск по каждому решению.

МР_i = ∑p_jr_ij

Определяем минимум среднеожидаемого риска. Он равен 2,3, что соответствует пятому решению, которое, следовательно, является оптимальным по данному критерию.

5. Определяем значения для каждого решения по критерию Лапласа.

ВЫИГРЫШИ:

Максимальный выигрыш составит 12,625 что соответствует 2-ому оптимальному решению.