Числа Фибоначчи и золотое сечение в живом

исла Фибоначчи и «золотое сечение» в живом. Предисловие.

В элементарной математике существует много задач, часто трудных и интересных, которые не связаны с чьим-либо именем, а скорее носят характер своего рода «математического фольклора». Эти задачи нередко имеют хождение в нескольких вариантах; иногда несколько таких задач объединяют в одну, более сложную; иногда, наоборот, одна задача распадается на несколько более простых; словом, часто, оказывается, трудно различить, где кончается одна задача и начинается другая. Правильнее всего было бы считать, что в каждой из таких задач мы имеем дело с маленькими математическими теориями, имеющими свою историю, свою проблематику и свои методы – все это, разумеется, тесно связано с историей, проблематикой и методами «большой математики.

Такой теорией являются и теория чисел Фибоначчи. Выросшие из знаменитой «задачи о кроликах», имеющей более семисот пятидесятилетнюю давность, числа Фибоначчи до сих пор остаются одной из самых увлекательных глав элементарной математики.

Кроме того, и это являются фундаментальным фактом истории математики нашего времени, существенно сместился центр математических исследований в целом. В частности, утратила свои доминирующие позиции теория чисел и резко повысился удельный вес экстремальных задач. В самостоятельную отрасль математики сложилась теория игр. По существу возникла вычислительная математика.

Наконец было установлено довольно большое количества ранее неизвестных свойств чисел Фибоначчи, а к самим числам существенно возрос интерес. Значительное число связанных с математикой людей в различных странах приобщились к благородному хобби «фибоначчизма».

Добро пожаловать в « золотое сечение» нашей природы!

Глава 1: Числа Фибоначчи и их свойства. Введение.

В вышедшей в 1202 г. «Книге абака» итальянского математика Леонардо Фибоначчи содержалась задача о кроликах.

«Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?»

«Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождают кролики со второго месяца после своего рождения. Так как первая пара в первом месяце дает потомство, удвой, и в этом месяце окажутся 2 пары; из них одна пара, а именно первая, рождает и в следующем месяце, так что во втором месяце оказывается 3 пары; из них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так что в третьем месяце родятся еще 2 пары кроликов, и число пар кроликов в этом месяце достигнет 5 из них в этом же месяце будут давать потомство 3 пары, и число пар кроликов в четвертом месяце достигнет 8; из них 5 пар произведут другие 5 пар, которые, сложенные с 8 парами, дадут в пятом месяце 13 пар; из них 5 пар, рожденных в этом месяце, не дадут в том же месяце потомство, а остальные 8 пар рождают, так что в шестом месяце оказывается 21 пара; сложенные с 13 парами, которые родятся в седьмом месяце, они дают 34 пары; сложенные с 21 парой, рожденной в восьмом месяце, они дают в этом месяце 55 пар; сложенные с 34 парами, рожденными в десятом месяце, они дают 89 пар; сложенные вновь с 55 парами, которые рождаются в десятом месяце, они дают в этом месяце 144 пары; снова сложенные с 89 парами, которые рождаются в одиннадцатом месяце, они дают в этом месяце 233 пары; сложенные вновь с 144 парами, рожденными в последнем месяце, они дают 377 пар; столько пар привела первая пара в данном месте к концу одного года. Действительно, на этих полях ты можешь увидеть, как мы это делаем; именно, мы складываем первое число со вторым, т.е. 1 и 2; и второе с третьим; и третье с четвертым; и четвертое с пятым; и так одно за другим, пока не сложим десятое с одиннадцатым, т. е. 144 с 233; и мы получим общее число упомянутых кроликов, т. е. 377; и так можно делать по порядку до бесконечного числа месяцев».

Из выше приведенной задачи становится ясно, что Фибоначчи вывел особый ряд чисел. Примечательно, что первые два члена этой последовательности равны 1, следующее же члены равны сумме двух предыдущих.

2.Перейдем от кроликов к числам рассмотрим следующею числовую последовательность:

u1, u2, …, un,

в которой каждый член равен сумме двух предыдущих членов, т.е. при всяком n>2

un = un-1+un-2

Такие последовательности, в которых каждый член определяется, как некоторая функция предыдущих в математике называется рекуррентными или по-русски, возвратными последовательностями. Сам процесс последовательного определения элементов таких последовательностей называется рекуррентным процессом, а равенство(2) – возвратным (рекуррентным) уравнением. Число рекуррентно – индуктивно по его номеру.

Заметим, прежде всего, что по одному этому условию (2) члены последовательности (1) вычислять нельзя.

Можно составить сколько угодно различных числовых последовательностей, удовлетворяющих этому условию; например,

2,5,7,12,19,31,50,…,

1,3,4,7,11,18,29,…..,

-1,-5,-6,-11,-17,……, и т.д.

значит для однозначного построения последовательности (1) условия (2) явно недостаточно, и нам следует указать некоторые дополнительные условия. Например, мы можем задать несколько первых членов последовательности (1). Сколько первых членов последовательности (1) мы должны задать, чтобы можно было вычислить все следующие члены, пользуясь при этом только условием (2)?

Начнем с того, что не всякий член последовательности может быть получен при помощи (2) уже хотя бы потому, что не у каждого члена (1) имеется два предшествующих; например. Перед первым членом последовательности вообще не стоит ни одного члена, а перед вторым её членом стоит только один, значит вместе с условием (2) для определения последовательности (1) знать два ее первых члена необходимо.

3.Обратимся теперь к важному частному случаю последовательности (1), когда u1 =1 и u2=1. Условие (2). как было отмечено, дает нам возможность вычислять последовательно один за другим все члены этого ряда. Нетрудно проверить, что в этом случае первыми четырнадцатью его членами будут числа

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,

которые уже встречались в задаче о кроликах.

В честь автора этой задачи вся последовательность(1) при u1=u2=1 называется рядом Фибоначчи, а члены её – числами Фибоначчи.

Также в этом труде содержалось множество других задач. Л. Фибоначчи неоднократно путешествовал по странам Востока и в своей книге использовал труды арабских математиков.

Числа Фибоначчи и «золотая пропорция».

1.Разделим отрезок АВ единичной длины на две части так, чтобы большая из его частей являлась средним пропорциональным между меньшей его частью и всем отрезком.

С2 А С1 В

Обозначим для этого искомую длину большей части отрезка через х. Очевидно, длина его меньшей части при этом будет равна 1-х, и условие нашей задачи дает нам пропорцию

_1_ = __х__

х 1-х (1.1)

откуда х2=1-х (1.2)

положительным корнем(1.1) являются _-1_+_√_5_

2

так что отношения в пропорции (1.1) равны

_1_ = ___2___ = ___2(1+√5)__ = _1+√5_ = а

х -1+√ 5 (-1+√5)(1+√5) 2

каждое такое деление (точкой С1) называется делением в среднем и крайнем отношении. Его часто называют также золотым делением или золотым пропорцией (сечением).

Если взять отрицательный корень этого уравнения, то делящая точка С2 окажется вне отрезка АВ (такое деление в геометрии называется внешним делением). Как это видно на рисунке. Легко показать, что и здесь мы имеем дело с золотым сечением:

_С2 В_ = _А В_ = а

АВ С2А

2.Фактическое построение точки, делящей отрезок золотым сечение, осуществляется без труда.

Р

ис. 3 Рис. 4

Пусть АВ=1; востановим из точки перпендикуляр и возьмем точку Е, для которой АЕ=1/2 (рис. 3). Тогда ЕВ = √ 1+(1/2)2 = √5/2.

Проведя из Е, как из центра дугу через А до пересечения с ЕВ в точке D, мы получаем

ВD = _√5-1_

2

Наконец проведя через D дугу с центром в В, мы находим искомую точку С1.точку внешнего деления С2 можно найти из условия АС2 = ВС1.

3.Золотое сечение довольно часто встречается в геометрии, например, для квадрата, вписанного в полукруг (см. рис. 4), точка С делит золотым сечением отрезок АВ.

Сторона правильного десятиугольника (рис.5) вписанного в круг радиуса R, как известно равна

2R sin 360°/2,10 т.е. 2R sin 18°

таким образом,

а 10 =2R _√5-1_ = R _√5-1_ = _R_

4 2 а

И

R

А 10

Е

А

D

G

В

ными словами а10 равно большей части радиуса круга, разделенного золотым сечением.

F

Рис. 5 Рис. 6

4.Рассмотрим правильный пятиугольник. Его диагонали образуют правильный звездчатый пятиугольник (рис. 6).Точка С делит отрезок АD золотым сечением.

Золотая пропорция просматривается и в других геометрических фигурах.

5.Прямоугольники золотого сечения выглядят «пропорционально» и приятны на вид. Вещами, имеющими такую форму приятно пользоваться. Поэтому многим «прямоугольным» предметам нашего обихода (книгам, спичечным коробкам, чемоданам и т.д.) часто придается именно такая форма различными философами-идеалистами древности и средневековья внешняя красота прямоугольников золотого сечения и других фигур, в которых наблюдается деление в среднем и крайнем отношении, возводилась в эстетический и даже философский принцип. Золотым сечением и еще некоторыми числовыми отношениями пытались не только описать, но и объяснить явления природы и даже общественной жизни.

6.Природа дает нам многочисленные примеры расположения однородных предметов, описываемых числами Фибоначчи. В разнообразных спиралевидных расположениях мелких частей мелких частей растений обычно можно усмотреть два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, а в другом против. Числа спиралей того и другого типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи.

Так взяв молодую сосновую веточку, легко заметить, что хвоинки образуют две спирали, идущие слева снизу направо вверх.

На многих шишках семена расположены в трех спиралях, полого навивающихся на стержень шишки. Они же расположены в пяти спиралях, круто навивающихся в противоположном направлении. В крупных шишках удается наблюдать 5 и 8 и даже 8 и 13 спиралей. Хорошо заметны такие спирали и на ананасе: обычно их бывает 8 и 13.

У многих сложноцветных (например, у маргаритки или ромашки) заметно спиральное расположение отдельных цветков в соцветиях-корзинках. Число спиралей бывает здесь 13 в одном направлении и 21 в другом или даже соответственно 21 и 34. Особенно много спиралей можно наблюдать в расположении семечек крупного подсолнуха. Их число в каждом из направлений может достигать собственно 55 и 89.

Про то, как первозданная и необузданная природа функционирует и развивается по математическим законам, описанными числами Фибоначчи, мы попробуем разобраться в следующей главе.

Глава 2: Числа Фибоначчи и «золотое сечение» в живом. Совершенство форм в «золотых пропорциях».

По мнению ученого И. Шевелева, пропорции тела человека отвечают геометрической гармонии, основанной на соотношениях в прямоугольнике «два квадрата», диагональ которого равна √5, а стороны 1 и 2. По его данным, мужская фигура вписывается в прямоугольник с отношением сторон 0,528: 2 и разделена пополам в лонном сращении. Женская фигура вписывается в прямоугольник с отношением сторон 0,472: 2. Высота «венчания» человека – шея и голова, равны 0,326. Пропорции венчания отвечают золотому сечению: 0,202: 0,326. Пуп делит тело человека в золотой пропорции: 1,1236: 0,764 = 1,618. Расстояние от локтевого сустава до конца пальцев равно 0,528.

В приведенных отношениях числа 0,528, 0,326, 0,202 образуют ряд золотой пропорции, а число 0,472 является производным золотой пропорции. Отношение 528/472 названо архитектором В. Жолтовским «функцией золотого сечения». Прямоугольник, построенный на отношении функции, является «живым квадратом». Случайно ли, что в построении в мужских и женских тел, по методу разработанному Шевелевым, соотношения прямоугольника их тел отвечают функции Жолтовского?

Модель пропорции человека, предложенная Шевелевым, довольно точно отвечает рисункам мужских фигур Леонарда Винчи и Микеланджело, но в других фигурах она не оправдывается. Можно найти ряд интересных отношений (фигура Поликтета, созданная Дорифором вписывается в прямоугольник с отношением сторон, близким к 1: (√5 +1)). В лонном сращении тело атлета делится на две части, равные (√5+1)/2, то есть вписывается в два прямоугольника золотой пропорции. Пуп делит тело Поликтета в пропорции золотого сечения.

Этой же пропорции отвечает и прямоугольник венчания. Расстояние между сосками груди относится к ширине тела в пропорции Ѕ и т.д. такой анализ можно продолжить и найти еще ряд интересных отношений, но нужно отметить, что все они приближенны. Представляется наиболее устойчивым и достоверным лишь золотое сечение, проявляющееся неоднократно в пропорциях гармонически развитого тела человека и согласующееся с закономерностями пропорций в других организмах.

Известно, что размах вытянутых в стороны рук человека примерно равен его росту, вследствие чего фигура человека вписывается в квадрат и в круг. Но и здесь соответствие квадрату среднестатистическое, приближенное, у людей могут быть отклонения от этой идеальной геометрии.

По – видимому, во всех пропорциях тела человека существуют некоторые идеальные, но «мертвые» соотношения частей, являющиеся основной гармонии.

Давно уже существует мнение, что пяти-лучевая симметрия, проявляется и в строении человеческих тел, где лучами служат голова, две руки и две ноги.

В связи с этим многие исследователи математических закономерностей тела человека вписывали его в пентаграмму. Так назвали позу человека с раздвинутыми на 180* руками и разведенными на 90є ногами. Такая модель нашла отражение и в построениях Леонардо да Винчи и Дюрера.

Числа Фибоначчи отражают основную закономерность роста организмов, следовательно, и в строении человеческого тела они должны каким – то образом проявиться.

Займемся «инвентаризацией» частей человеческого тела. У него одно туловище, одна голова, одно сердце и т. д.; многие части тела и органы парные, например, руки, ноги, глаза, почки. Из трех частей состоят ноги, руки, пальцы рук. На руках и ногах по пять пальцев, а рука вместе с пальцами состоит из восьми частей. У человека 12 пар ребер (одна пара атрофирована и присутствует в виде рудимента).

Характерно строение кисти человека. Кисть состоит из трех основных частей: запястья, пясти и пальцев. В состав запястья входит 8 косточек, оно сочленяется с 5 костями пясти, которые составляют основу ладони. Каждый палец состоит из трех фаланг: основных, средних и ногтевых. Позвоночник человека состоит из 34 позвонков.

С. В. Петухов при анализе строения животных и человека использовал отношение, связывающее все три части и называемое вурфом. Если это отношение отвечает 1,309…, что равно Ф2/2, оно называется золотым вурфом. Оказалось, что вурф руки человека равен 1,33, вурф ноги – 1,29, вурф пальцев – 1,34. С точностью около 3% вурфы всех трехчленных блоков человеческого тела равны между собой и близки к 1,309, то есть являются золотым вурфом.

Как видно из приведенного перечисления частей человеческого тела, в его членении на части присутствуют все числа Фибоначчи от 1 до 34.

Общее число костей скелета человека близко к 233, то есть отвечает еще одному числу Фибоначчи.

В развитии организма человека, в эволюции его конституции, в усложнении организации значительную, а может быть, и определяющую роль играл рост «по Фибоначчи», членение целого на части путем развертывания ряда чисел Фибоначчи. Конечно, на эту закономерность развития человека налагались и другие факторы. И все же дискретность «по Фибоначчи прослеживается и довольно отчетливо. И не только на костях скелета, а также на мышцах, на строении головного мозга и волоса.

Этот список частей тела человека можно продолжить. Нетрудно видеть, что в их перечне очень часто встречаются числа Фибоначчи или близкие к ним величины.

Ряд этих чисел не только отражает дискретный характер роста и членения целого на части, но и отвечает золотой пропорции. Отношения рядом стоящих чисел Фибоначчи приближается к золотой пропорции, значит, и соотношения чисел различных органов часто отвечает золотой пропорции.

Золотая пропорция в «крови» у человека.

Закономерности строения человеческого тела в соответствии с золотой пропорцией проявляется иногда в самых неожиданных случаях. Интересные данные приведены в книге Э.Сороко «Структурная гармония систем». Так. Распределение людей по 3м группам крови отвечает отношениям чисел 8/ 21 /34. В состав крови человека входят красные кровяные тела (эритроциты), белые кровяные тела (лейкоциты) и тромбоциты. Эти три типа кровяных тел содержатся в пропорции 62/ 32 /6. Отношения числа эритроцитов к двум остальным телам крови отвечает золотой пропорции.

В генетике человека известна связь типа людей с характером линейных узоров на кончиках пальцев (отпечатков). При всем разнообразии отпечатков пальцев, которые неповторимы для каждого человека, среди них выделено три основных типа: петлевые, круговые и дуговые. При нормальном кариотипе соотношение этих трех типов отпечатков отвечает числам 62/ 32 /6…,то есть такое же. Как и распределение кровяных тел в крови человека.

Ученый В.Д. Цветков установил, что у человека и у других млекопитающих имеется оптимальная (золотой пропорции) частота сердцебиения, при которой длительность систолы, диастолы и полного сердечного цикла соотносятся между собой в пропорции 0,382/ 0,618 /1, то есть в полном соответствии с золотой пропорцией. Для человека золотой пропорция равна 63 удара сердца в минуту. А для собак 94, что отвечает реальной частоте сердцебиения в состоянии покоя. Далее В.Д. Цветков обнаружил, что систолическое давление крови в аорте равно = 0,382, а дистоническое + 0,618 от среднего давления крови в аорте, что в среднем также отвечает золотой пропорции. Таким образом, работа сердца в отношении временных циклов, изменения давления крови и объемов желудочков оптимизирована по правилу золотой пропорции.

В медицинской практике о работе сердца судят по пульсу. Оказалось, что пульсовые – минимальное и максимальное давления находятся в отношении 0,365/ 0,635 /1, то есть близком к золотой пропорции. Характерно, что это соотношение в аорте не изменяется при изменении уровня нагрузки и соответственно частоты сердцебиения.

В.Д Цветковым были рассмотрены фазы активности миокарда (главной сердечной мышцы), отвечающие интервалу сердечного цикла – от начала напряжения до окончания сокращений мышечных волокон. На диаграмме было выделено несколько интервалов и фаз мышечной активности. Три интервала в сумме представляют фазу активного состояния миокарда. Первые два интервала(0-2) отвечают фазе подготовки к изгнанию крови, третий интервал (2-3) – фазе изгнания, а интервал(3-4) – фазе наполнения желудочков.

В результате математической обработки экспериментальных данных В. Цветков получил ряд чисел, отвечающих значениям рассматриваемых интервалов и фаз относительно общей длительности (Т) сердечного цикла; они равны: 0,050√Т; 0,081√ Т; 0,131√ Т; 0,210√ Т; 0,340√ Т, то есть отражают последовательность ряда чисел Фибоначчи 5, 8, 13, 21, 34.

По мнению Цветкова организация сердечного цикла в соответствии с золотой пропорцией и числами Фибоначчи является результатом длительной эволюции млекопитающих, эволюции в направлении оптимизации структуры и функций, обеспечения жизнедеятельности при минимальных затратах энергии и «живого строительного материала». Очевидно, работа сердечно сосудистой системы по законам золотой пропорции обеспечивает гармоническое функционирование всего организма. Но ведь сердечная деятельность органически связана с высшей нервной деятельностью, с работой мозга! Не здесь ли в высшем органе управления организма, заложены команды и импульсы, основанные на золотой пропорции и регулирующие деятельность различных органов?

Думаем «числами Фибоначчи».

Если работу сердца контролируют при помощи электрокардиограмм, то для суждения о состоянии мозговой деятельности применяют электроэнцефалограммы.

Многочисленные исследования показали, что в мозгу взрослого человека при различных его состояниях преобладают электрические колебания определенных частот. Изменения активации мозга происходит не непрерывно, а только дискретно, скачками, от одного уровня к другому. Каждому состоянию мозга соответствуют свои специфические волны электрических колебаний. Нетрудно заметить, что граничные частоты (верхние и нижние) ритмов мозга или точно отвечают числам Фибоначчи, или очень близки к ним, а отношения тяготеют к золотой пропорции (отношение граничных частот при ритме умственной работы близко к квадрату золотой пропорции).

Кроме значений граничных частот электрических колебаний мозга различных ритмов, электрические колебания мозга характеризуются и другими величинами. Одной из таких характеристик является среднее геометрическое значение крайних частот. Средняя геометрическая частота делит диапазон любой волны мозга на высокочастотную и низкочастотную области (полосы). Отношение этих полос есть постоянная величина для данной волны – инвариант волны. Этот инвариант советские ученые Я.А и А.А. Соколовы приняли за основную характеристику ритмов мозга. Для β – ритма. Ответственного за умственную деятельность человека, этот инвариант оказался близким к золотой пропорции.

Когда исследователь. Изучая ритмы мозга, получает ряд характеристик, он пытается найти связь между ними то, что объединяет эти колебания в одну систему. Такая задача возникла и у Соколовых. Её решение привело к созданию стройной теоретической модели электронных колебаний мозга, которая описывается простой и очень красивой формулой: bp-bg=1, где p=2,3,4,а g=1,21. Корни этих уравнений и являются инвариантами различных ритмов ЭЭГ. Но, решая это уравнение, авторы получили шесть инвариантов, производных от золотой пропорции. Кроме известных четырех ритмов были получены инварианты со значениями 1,272 и 1,221. Соколовы считают, что эти ещё не обнаруженные опытами, но полученные в результате теоретических расчетов, инварианты характеризуют свойства гипотетических ритмов g и q. Расчеты показали, что у g-ритма граничные частоты 55118, а у q-ритма = 118-225гц. Известно, что активность деятельности мозга возрастает с ростом частоты электрических колебаний. Поэтому можно предполагать, что ритмы g и q доминируют при наиболее интенсивной умственной работе – творческой деятельности мозга.

Подтверждением этой гипотезы могут служить высказывания многих ученых о характере их творческих открытий, интуитивного озарения, которое как молния пронизывает мозг. Очевидно, сравнение творческого акта со вспышкой молнии не случайно – оно отражает высокочастотный ритм электрических колебаний мозга, ответственный за наиболее интенсивную творческую деятельность человека.

Итак, теоретическая модель Соколовых исходит из семи электрических ритмов мозга образующих следующий ряд величин: 2,5; 5,3; 10,2; 22,1; 43,8; 80; 162,9. Сразу ясно что, средняя частота каждого последующего ритма ЭЭГ в два раза больше, чем у предыдущего ритма. Это позволяет описать все семь ритмов одним рядом геометрической прогрессии 1,2,4,8,16,32,64 или общей формулой f = 2, где n= 0,1,2,3,4,5,6.

Среднее отклонение полученного ряда чисел от соотношения средних геометрических частот ритмов мозга близко к четырем процентам. Следовательно, теоретическая модель системы ритмов мозга, описываемая геометрической прогрессией вида 2, очень точно отвечает совокупности экспериментальных данных.

Гонки по спирали.

Выходит, что система электрических колебаний мозга представляет собой свертывающуюся во времени спираль геометрической прогрессии, с нарастающей частотой колебаний каждого последующего дискретного уровня деятельности мозга. Но ведь эта спираль ритмов ЭЭГ отражает и эволюцию организмов. В процессе эволюции организмов от наиболее простых к наиболее сложным происходило возрастание числа ритмов мозга и повышения их частоты. Может быть, не случайно, что эволюция планеты в целом, выраженная в её геологической истории, развертывались по одной и той же спирали – спирали геометрической прогрессии, отражающей самофокусировку развития, самоускорение собственного (геологического, биологического) времени систем.

И вновь, как и в характере расположения планет Солнечной системы, две основные закономерности развития (по степенной зависимости и «по Фибоначчи») взаимно переплетаются, объединяются и сочетаются в самых разнообразных вариантах.

Ритмы мозга и сердца отражают временную организацию человека, но корни, истоки этой организации остаются неизвестны.

В будущее сквозь «золотое сечение».

Белки являются составной частью наивысших организмов. Белки – это полимеры, в состав которых входит большое количество различных аминокислот. Молекулярная масса белков колеблется от 10000 до нескольких миллионов. Ранее в составе белков насчитывали двадцать аминокислот, а совсем недавно открыли еще одну, неведомую ранее науке, аминокислоту, которую назвали аминолимонной. Не прослеживается ли и здесь связь с числами Фибоначчи.

Очень интересные результаты получил Московский ученый Б.И. Курганов, занимающийся изучением ферментов. Установлено, что ферменты в организмах склонны образовывать упорядоченные структуры – мультиферментные комплексы. Они образуют четыре различные композиции, в состав которых входит 1,5,13 и 21 молекула гликолитических ферментов. Похоже, что и эволюция ферментов осуществляется в соответствии с развёртыванием чисел Фибоначчи. Отсутствие некоторых членов этого ряда может быть вызвано естественным отбором или недостаточной изученностью.

Белков в организме человека очень много, причем самых разнообразных. Их свойства и состав определяют последовательностью расположения аминокислот в полимерной цепи и структурой. Хранилищем «плана строительства» молекул белка, вместилищем информации являются молекулы дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК) и молекулы рибонуклеиновой кислоты (РНК). В этих громадных молекулах содержится важнейшая информация о воспроизведении, построении и жизнедеятельности организма.

Механизм кодирования наследственной информации в молекулах ДНК и РНК окончательно не изучен. Но основные черты химического строения и структуры ДНК и РНК уже известен. ДНК и РНК представляют собой полимеры, основное повторяющееся звено этих полимеров – нуклеотиды. Нуклеотид состоит из тех остатков:

Остатка молекулы фосфорной кислоты.

Остатка сахара.

Остатка азотосодержащего органического основания с циклической структурой.

Органическими основаниями нуклеиновых кислот являются пурины и пиримидины. Они образуют пять наиболее распространенных азотосодержащих оснований – нуклеотидов, входящих в состав ДНК и РНК: цитозин (Ц), тиамин (Т), урацил (У), гуанин (Г) и аденин (А).

Для синтеза каждого из белков необходим громадный объем информации. Ведь белки печени, например, совершенно не похожи на белки волос.

Молекулы ДНК являются первичным носителем генетической информации. Эта информация передается с ДНК клеточного ядра на молекулы РНК. Молекула ДНК может, разъединятся на две половинки, и каждая из них служит как бы матрицей для синтеза на ней молекулы РНК. Образовавшаяся молекула РНК – эта «лестница с перилами с одной стороны» – служит, в свою очередь, матрицей для синтеза белков.

В молекулах ДНК всегда содержится приблизительно равное число нуклеотидов – единиц Т и А, а также равное число единиц Ц и Г. пары Т и А, а также Ц и Г связаны друг с другом. Генетический код и определяется, по современным представлениям, комбинацией этих оснований в последовательности, например, АТ, АТ, ГЦ, АТ, ГЦ, АТ, ГЦ, ГЦ, ГЦ и т.д.

Сущность проблемы генетического кода сводится к познанию того, какие именно сочетания нуклеотидов приводят к кодированию соответствующей аминокислоты в структуре белка. Один нуклеотид ДНК не может кодировать одну аминокислоту, ибо разных нуклеотидов всего лишь четыре. Пар нуклеотидов также не хватает для кодирования всех 20 аминокислот, ибо таких пар может быть всего 16. Если взять комбинации по трем нуклеотидам, то получим 64 сочетания, что достаточно для кодирования всех аминокислот. Единица кода, передающая при синтезе белка сведения об одной аминокислоте, получила название кодона.

Сейчас определены триплеты – кодоны для 20 аминокислот. При этом было установлено, что одна и та же аминокислота может быть кодирована несколькими разными триплетами. Это похоже на синонимы в языке – разные слова выражают одинаковое понятие.

В синтезе молекул белка участвуют также рибосомы, молекулы транспортной РНК, АТФ и ряд активирующих ферментов. В клетках было найдено 20 разных транспортных РНК и 20 разных ферментов.

Уже давно было установлено, что некоторые общие принципы формирования сложных систем – от сочетания атомов в молекулах, молекул в клетках организма, клеток в организмах и до организмов в экосистемах – аналогичны тем принципам, по которым слова строятся из букв, предложения из слов, а сложные обращения из фраз.

Первым элементом информации в языке являются звук, буква. Звуки делятся на согласные и гласные. Из букв составляют слог – сочетание гласных и согласных звуков – основа человеческой речи. Из слогов составляют слова, причем некоторые слова состоят из одного слога. И из слов составляют предложения (фразы), из предложений абзацы, представляющие собой законченную мысль. Следующим уровнем языковой информации будет произведение – рассказ, роман, книга. И, наконец, последним, наиболее высоким уровнем будет творческое наследие какого-либо автора, сумма всех его произведений.

Аналогичная иерархия уровней кодирования информации прослеживается и в генетике. Буквами здесь являются нуклеотиды (Г, А, Л, Ц, Т), слогами – триплеты, словами – аминокислоты, предложениями – белки, абзацами – клетки, произведениями – органы, и, наконец, сумма всех произведений – организм. Получили семь уровней кодирования генетической информации, её хранения и воспроизведения.

На каждом уровне генетического кодирования и передачи информации она суммируется, наследуя информацию более низких уровней, и дополняется некоторым количеством новой информации. Информация непрерывно нарастает не только как сумма битов первичной информации, а также путем непрерывного дополнения новой информации, в соответствии с эволюцией организма – от репликации ДНК до образования клетки, органов и цельного организма.

Возможно, что и здесь проявляются некоторые черты развития системы по мере её усложнения в соответствии с развертыванием ряда чисел Фибоначчи. Это проявляется в уровнях кодирования.

2 – пурины и пиримидины.

2 – число пуриновых нуклеотидов.

3 – число пиримидиновых нуклеотидов.

5 – общее число нуклеотидов.

21 – число различных аминокислот (слов).

146 – число аминокислот в белковой цепи гемоглобина (144 – число Фибоначчи).

Как видим. Уже на молекулярном уровне организации различных организмов проявляются закономерности золотой пропорции и чисел Фибоначчи.

Очевидно. Развитие молекул живого определяется действием нескольких закономерностей. Еще не выяснены, например, закономерности в числе хромосом. Являющихся носителями молекул ДНК, в растениях и животных различных видов. Число хромосом здесь изменяется очень широко – от 6 у комара до 98 у речного рака. У некоторых видов число хромосом отвечает или близко числам Фибоначчи, например. 8 – у мухи-дрозофилы. 14 – у ржи, 20 – у кукурузы, 34 – у подсолнечника, 54 – у овцы.

Выше мы уже писали о спиральности как характерной черте строения организмов. Оказалось. Что спиральность проявляется даже на клеточном уровне организации, в строении молекул живых организмов. Английский ученый Э. Синнот указывает в своих работах, что спиральность во многих случаях является отличительной особенностью протоплазмы; направления её движения в клетке тоже спиральное. Рост самих клеток тоже может быть спиральным. Не случайно носители генетической информации молекул ДНК и РНК построены по закону спирали. Советские ученые Б. Вайнштейн и Н. Киселев наблюдали, как белковые молекулы, полуученые в результате «раздробления» вируса, снова собирались вместе в подходящих условиях и укладывались по правилу спирали. Естественно возникает вопрос: не здесь ли была заложена природой исходная информация спирального вида организмов?

К идеалу золотых пропорций.

Из того, что мы уже написали, становится ясно: числа Фибоначчи каким-то странным образом связаны с устройством человека, со строением его органов, сердечной деятельностью, и т.д.

Странно, не так ли, что числа, полученные в результате задачи о кроликах, оказались в такой взаимосвязи? Можно предположить, что вскоре, в результате исследований ученых, числа Фибоначчи будут не «оторванной» увлекательной математической задачкой, а лягут в основу концепции знаний о строении живой природы и научного миропонимания. Тем более. Если учесть. Что интерес к числам Фибоначчи значительно возрос: числа Фибоначчи изучают на факультативных занятиях в школах, изучением этих чисел увлекаются научные студенческие коллективы. Рассмотренные нами факты получены на основе статистических данных, и пока не поддаются осмыслению со стороны прикладных наук об организации жизнедеятельности человека. Эти данные пока не прозрачны и не точно соответствуют ряду чисел Фибоначчи, несмотря на то, что эти погрешности можно, без большой натяжки, отнести на течение эволюции. Научная мысль не стоит на месте, и поэтому следует ожидать появления новых закономерностей, связанных с изучением чисел Фибоначчи, которые, как мы надеемся, существенно повлияю на ход развития науки в изучении живой природы. Может быть, и мы сильно на этого ждем, золотые пропорция сыграют решающую роль в изучении механизма болезней, неподдающихся лечению на данном этапе развития нашей цивилизации.

Литературные источники:

Н.Н Воробьев «Числа Фибоначчи». Издательство «Наука» 1983г. ‹Стр. 7-11 и 94-101. ›

Васютинский «Золотая пропорция».‹Стр. 147-181. ›

16

Простейшие свойства чисел Фибоначчи.

1.Вычислим сначала сумму первых n чисел Фибоначчи. Именно, докажем. Что

U1+u2…+un=un+2-1 (1.1)

в самом деле, мы имеем:

u1=u3-u2,

u2=u4-u3,

u3=u5-u4

…

un-1=un+1-un,

Un=un+2-un+1

сложив все равенства почленно, мы получим

u1+u2+….+un=un+2-u2n.

и нам остается вспомнить, что u2=1.

Сумма чисел Фибоначчи с нечетными номерами:

U1+u3+u5+…+u2n-1=u2n. (1.2)

Для доказательства этого равенства напишем

U1=u2,

U3=u4-u2,

U5=u6-u4,

…

U2n-1=u2n-u2n-2.

Сложив эти равенства почленно, мы получим требуемое.

3. Сумма чисел Фибоначчи с четными номерами:

u2+u4+…+u2n=u2n+1-1. (1.3)

на основании п.1 мы имеем.

U1+U2+U3+…+U2n=U2n+2-1;

Вычтя почленно из этого равенства равенство

Содержание.

Стр.

Числа Фибоначчи и «золотое сечение» в живом.

Предисловие. 2

Глава 1: Числа Фибоначчи и их свойства.

Введение. 3 Числа Фибоначчи и «золотая пропорция». 4

Числа Фибоначчи и «золотое сечение» в живом.

Совершенство форм в «золотых пропорциях». 8

Золотая пропорция в «крови» у человека. 9

Думаем «числами Фибоначчи». 11

Гонки по спирали. 12

В будущее сквозь «золотое сечение». 12

К идеалу золотых пропорций. 15

Литературные источники. 16