Теория автоматического управления 2 (стр. 2 из 5)
Исходя из формулировки следствия из критерия Михайлова и корней характеристической функции F(jω) (ωд1=2,1972, ωм1=0 ωм2=2,1651), можно сказать о правильности вывода о неустойчивости системы по виду годографа Михайлова, так как корни характеристической функции F(jω) не перемежаются.
Вывод: Проверка устойчивости системы показала, что при новом значении kу=56,3 система не устойчива и требует коррекции.
3. Расчет корректирующего устройства
Для построения ЛАЧХ исходной нескорректированной системы произведем вспомогательные вычисления:
ωс1 =1/1.6=0.63lgωс1 =-0.2
ωс2 =1/1.2=0.83 lgωс2 =-0.08
ωс3 =1/0.35=2.85 lgωс3 =0.46
20lgk = 22
Для построения среднечастотного участка ЛАЧХ желаемой системы по заданным показателям качества (σ = 35%, tп =2с, M=1.6) вычисляем его параметры.
lgωср=0.82 
lgω2=0.39 
lgω3=1.03По вычисленным параметрам строим среднечастотный участок ЛАЧХ желаемой системы. Так как СЧ-участок ЛАЧХ не доходит до искомой ЛАЧХ продляем его до сопряжения с ней.
ωc2=ωc2’=0,83c-1
Из ЛАЧХ желаемой системы вычитаем ЛАЧХ исходной системы и получаем ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства.
Lку(ω)=Lск(ω)-Lнс(ω)
Рис. 3 – Логарифмические амплитудно-частотные характеристики разомкнутого контура нескорректированной системы, скорректированной системы и корректирующего устройства
По виду ЛАЧХ выбираем два последовательно соединенных интегро-дифференцирующих звена с преобладанием дифференцирования. Принципиальная схема корректирующего устройства приведена на рисунке 3.
Рис. 4 – Принципиальная схема корректирующего устройства
Пусть R1=1МОм , R3=1МОм , тогда
T3=R1C1
T3=R3C2
Запишем передаточную функцию скорректированной системы:
=
Заменяем р на jω:
Вычислим значение фазы на частоте среза φ(ωср) (значение частоты ωср = 6,59).
φ(ωср)=
Находим запас устойчивости системы по фазе.
Методом подбора найдем ωπ , при которой φ(ωπ) = 180о.
При
ωπ =11,5 φ(ωπ)=180,7о
Чтобы определить запас устойчивости системы по амплитуде необходимо на ЛАЧХ скорректированной системы отметить частоту ωπ =11,5 и определить на этой частоте запас амплитуды.
Как видно из рисунка 3 запас устойчивости по амплитуде ΔL=13дБ.
Вывод: В разделе 2 было доказано, что нескорректированная система при увеличенном коэффициенте kу=56,3была не устойчива. В данном разделе, введя корректирующее устройство и проанализировав ЛАЧХ уже скорректированной системы можно видеть, что скорректированная система устойчива и имеет запасы устойчивости по амплитуде и фазе:
ΔL=13дБ
4 Построение области устойчивости скорректированной системы
Исходным выражением для построения области устойчивости является характеристическое уравнение замкнутого контура скорректированной системы. Запишем это характеристическое уравнение:
Подставим в формулу выражение для передаточной функции разомкнутого контура.
Заменяем р на jω.
Объединим действительную и мнимую составляющие выражения:
Приравняем к нулю действительную и мнимую части:
Упорядочим систему уравнений относительно параметров kрк и To :
Решим эту систему уравнений методом Крамера.
Подставим значения коэффициентов в выражения kрк и То .
=
Так как область устойчивости надо строить в плоскости параметров kи и TО, то сделаем переход от коэффициента kрк к коэффициенту kи .
С учетом этого запишем уравнение kрк относительно нужного нам параметра kи .
kи =
Задаваясь значениями частоты ω от 0 до ∞, составляем таблицу 2, получаем данные для построения границы области устойчивости системы в плоскости двух параметров kи и Tо .
Таблица 2. – Расчетные данные для построения границы области устойчивости системы
| ω | kи | To |
| 0 | -0.0269 | 0 |
| 1 | -0.0268 | -0.0163 |
| 2 | -0.0267 | -0.0335 |
| 3 | -0.0272 | -0.0524 |
| 4 | -0.0291 | -0.0744 |
| 5 | -0.0336 | -0.1016 |
| 6 | -0.0426 | -0.1372 |
| 7 | -0.0600 | -0.1880 |
| 8 | -0.0947 | -0.2691 |
| 9 | -0.1718 | -0.4240 |
| 10 | -0.4079 | -0.8526 |
| 11 | -5.0980 | -8.9548 |
| 12 | 0.7966 | 1.1683 |
| 13 | 0.4632 | 0.5709 |
| 14 | 0.3705 | 0.3860 |
| 15 | 0.3332 | 0.2954 |
| 20 | 0.3283 | 0.1446 |
| 25 | 0.3951 | 0.0997 |
| 30 | 0.4850 | 0.0773 |
| 35 | 0.5899 | 0.0635 |
| 40 | 0.7074 | 0.0542 |
| 45 | 0.8363 | 0.0473 |
| 50 | 0.9761 | 0.0421 |
| 55 | 1.1265 | 0/0379 |
Используя данные таблицы 2, построим область устойчивости скорректированной системы в плоскости двух параметров kи и Tо. Область устойчивости приведена на рисунке 5.