Теория автоматического управления 2 (стр. 4 из 5)

Вычисляем квадратичную интегральную оценку:

Задаваясь численными значениями k_рк, составляем таблицу зависимости квадратичной интегральной оценки от коэффициента k_рк, которая приведена ниже.

Таблица 5. – Расчетные данные для построения кривой зависимости интегральной оценки от передаточного коэффициента разомкнутого контура

к_рк	Q_кв
1	1.074
2	0.629
3	0.483
4	0.414
5	0.374
6	0.349
7	0.335
8	0.325
9	0.319
10	0.317
11	0.317
12	0.319
13	0.322
14	0.327
15	0.333
20	0.389
25	0.498
30	0.736
35	1.521

Рис. 9 - Кривая зависимости интегральной оценки от передаточного коэффициента разомкнутого контура

При помощи программы Matlab вычислим минимум функции Q_кв на интервале [1;35], он равен 10,56. Следовательно, оптимальным значением k_рк является k_рк=10,56. При данном значении коэффициента разомкнутого контура система будет работать в оптимальном режиме, обеспечивая минимальную площадь под графиком переходного процесса.

Теперь перейдем от коэффициента k_рк к передаточному коэффициенту k_у. Для этого воспользуемся следующей формулой:

При коэффициенте k_рк=10,56 и квадратичной интегральной оценке равной Q=0.3166 передаточный коэффициент управляющего устройства k_у.= 45,8.

Вывод: В этом разделе с помощью квадратичной интегральной оценки получили оптимальное значение передаточного коэффициента управляющего устройства (k_у=45,8). Этот коэффициент получился меньше, чем тот, что был выбран в разделе 2 (k_у=56,3). Следовательно, при выборе этого коэффициента точность системы в установившемся режиме увеличится, но могут получиться более колебательные переходные процессы.

7. Вычисление и минимизация дисперсии сигнала ошибки при случайных воздействиях

Дисперсия сигнала ошибки D_e при действии на систему внешних некоррелированных воздействий х_з и g может быть представлена суммой:

где D_eз – дисперсия, обусловленная неточным воспроизведением задающего воздействия;

D_eg – дисперсия, обусловленная неполным подавлением помех.

Вычислим дисперсию, обусловленную неточным воспроизведением задающего воздействия:

где S_хз(ω) – спектральная плотность полезного сигнала

Запишем передаточную функцию замкнутого контура по каналу ошибки х_з-ε.

Заменяем р на jω:

Подставим это выражение в формулу дисперсии, обусловленной неточным воспроизведением задающего воздействия:

где

Вычисление дисперсии неточного задающего воспроизведения вычислим по формуле:

Запишем коэффициенты v_i и d_iдля составления определителей Δ и Δ_v:

v₀=0.0024 d₀=0.0138

v₁=-4.26 d₁=0.307

v₂=45.624 d₂=1.817

v₃=12 d₃=1.1786+k_рк

d₄=0,1+0,1k_рк

Определитель D составляется из коэффициентов d_i по правилу составления определителя Гурвица.

Определитель Δ_vсоставляем путем замены коэффициентов верхней строки матрицы Δ на коэффициенты v_i.

где А_ij - алгебраические дополнения элементов определителя

Подставим значения алгебраических дополнений в формулы определителей Δ и Δ₁ .

Далее вычислим дисперсию, обусловленную неполным подавлением помехи:

где S_g(w) – спектральная плотность помехи

=120

Запишем передаточную функцию скорректированной системы по каналу «g-e»:

Отдельно раскроем скобки и приведем подобные члены знаменателя, после чего подставим численные значения постоянных времени.

Подставим численные значения в формулу передаточной функции скорректированной системы по каналу «g-e»:

Далее подставим передаточную функцию системы по каналу «g-e» в формулу дисперсии неполного подавления помехи:

где

Подставим это выражение в формулу дисперсии неполного подавления помехи:

Вычисление дисперсии неполного подавления помехи вычислим по формуле:

Запишем коэффициенты v_i и d_iдля составления определителей Δ и Δ_v:

v₀=0 d₀=0,165

v₁=0,0084

d₁=3,2

v₂=4,2

-2,04

d₂=0,462 k_рк+3,84

v₃=120

d₃=1.705k_рк+3,67

d₄=1,1+1,1k_рк

Определитель D составляется из коэффициентов d_i по правилу составления определителя Гурвица.

Определитель Δ_vсоставляем путем замены коэффициентов верхней строки матрицы Δ на коэффициенты v_i.