Теория автоматического управления 2 (стр. 5 из 5)
где Аij - алгебраические дополнения элементов определителя 
Подставим значения алгебраических дополнений в формулы определителей Δ и Δ1 .
= 
В соответствии с найденными аналитическими выражениями дисперсии неточного задающего воспроизведения и неполного подавления помехи составим таблицу для построения графиков Dεз =f(kрк) и Dgε=f(kрк), а также суммарного графика Dε=f(kрк).
Таблица 6 - Расчетные данные для построения графиков зависимости дисперсии от передаточного коэффициента разомкнутого контура
| крк | Dε3=f(крк) | Dεg=f(крк) | Dε=f(крк) |
| 0 | 35.294 | 0 | 35.294 |
| 0.5 | 21.492 | 1.979 | 23.471 |
| 1 | 15.640 | 4.999 | 20.639 |
| 1.5 | 12.534 | 7.791 | 20.325 |
| 2 | 10.644 | 10.172 | 20.816 |
| 2.5 | 9.383 | 12.148 | 21.531 |
| 3 | 8.485 | 13.760 | 22.245 |
| 3.5 | 7.812 | 15.054 | 22.866 |
| 4 | 7.287 | 16.073 | 23.361 |
| 4.5 | 6.866 | 16.859 | 23.726 |
| 5 | 6.519 | 17.450 | 23.969 |
| 10 | 4.749 | 18.294 | 23.044 |
| 15 | 3.968 | 17.822 | 21.850 |
| 20 | 3.469 | 18.833 | 22.303 |
| 25 | 3.106 | 21.116 | 24.222 |
Рис. 10 - Графики зависимости дисперсии сигнала ошибки скорректированной системы от передаточного коэффициента разомкнутого контура
При помощи программы Matlab вычислим минимум функции Dε на интервале [0;25], он равен 1,36. Следовательно, оптимальным значением передаточного коэффициента разомкнутого контура является kрк =1,36 , при котором дисперсия сигнала ошибки минимальна (De=20,29.)
Перейдем от коэффициента kрк к передаточному коэффициенту управляющего устройства kу. Для этого воспользуемся следующей формулой:
Вывод: Для оптимальной работы системы по суммарной дисперсии сигнала ошибки необходимо передаточный коэффициент разомкнутого контура принять равным 1,36 , из чего следует, что передаточный коэффициент управляющего устройства должен быть равен 5,88. Но при таком значении коэффициента управляющего устройства заданная точность управления системы не будет достигнута.
В этом разделе объектом исследования является нелинейная система, которая образована из нескорректированной системы заменой преобразующего элемента нелинейным элементом. Анализ системы будем осуществлять при помощи метода фазовых траекторий. В качестве нелинейности используется релейное управляющее устройство с параметрами с=1 и b=1.
Рис. 11 - Алгоритмическая схема нелинейной системы
Параметры автоколебаний определяем методом гармонической линеаризации при помощи амплитудной фазо-частотной характеристики.
Запишем передаточную функцию нелинейного элемента:
Запишем передаточную функцию линейной части системы:
Заменим оператор р на jωи разделим передаточную функцию на действительную и мнимую части:
Для построения годографа Найквиста составим таблицу значений действительной и мнимой частей передаточной функции в зависимости от частоты.
Таблица 7 - Расчетные данные для построения годографа Найквиста линейной части системы
| ω | P(ω) | Q(ω) |
| 0 | 11.82 | 0 |
| 0.05 | 11.61 | -1.84 |
| 0.1 | 8.06 | -3.57 |
| 0.2 | 4.24 | -6.3 |
| 0.4 | -1.07 | -8.14 |
| 0.5 | -2.31 | -7.67 |
| 0.8 | -2.85 | -4.7 |
| 1 | -2.3 | -3 |
| 1.505 | -1.77 | -0.785 |
Годограф Найквиста линейной части системы приведен на рисунке 12.
= 
Составим таблицу для построения годографа Найквиста нелинейной части.
Таблица 8 - Расчетные данные для построения годографа Найквиста нелинейной части
| Хm | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P(Хm) | 0 | -1.36 | -2.2 | -3 | -3.85 | -4.64 |
| Q(Хm) | -0.785 | -0.785 | -0.785 | -0.785 | -0.785 | -0.785 |
Рис. 12 – Годографы Найквиста линейной и нелинейной системы
Из рисунка 12 находим амплитуду автоколебаний по теореме Пифагора (снимая значения с графика):
Частота автоколебаний равна:
Вывод: Введение в систему нелинейного элемента привело к тому, что появились устойчивые автоколебания с частотой wa=1,505с-1 и амплитудой Xma=1,327.
Заключение
В данной работе был проведен комплекс расчетов автоматической системы управления. В результате этого было доказано, что заданный передаточный коэффициент управляющего устройства не обеспечивает заданной точности. Было рассчитано новое значение передаточного коэффициента управляющего устройства, которое удовлетворяет заданной точности управления, но как оказалось при таком значении kу система перешла в неустойчивый режим работы.
Чтобы сохранить точность системы и вернуть ее в устойчивое состояние, было введено корректирующее устройство. Была также построена область D-разбиения в плоскости двух параметров kи и Tо и переходная характеристика системы, которые еще раз доказали, что скорректированная система является устойчивой и обеспечивает необходимую точность управления. Область D-разбиения показала, что параметры kи и Tо могут варьироваться как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, что дает дополнительные возможности по настройке системы
Также была вычислена интегральная квадратичная оценка, которая показала, что скорректированная система в переходном режиме имеет минимальную площадь под графиком переходного процесса, следовательно, полученный переходный процесс данной системы можно считать наилучшим.
Введение в систему нелинейного элемента привело к тому, что появились устойчивые автоколебания с частотой wa=1,505с-1 и амплитудой Xma=1,327.
Таким образом, выполненный расчет системы автоматического регулирования показал, что полученные настройки – оптимальны и удовлетворяют заданным требованиям.
Список литературы.
1. Лукас В.А. Теория автоматического управления: учебное пособие / В.А. Лукас. -4-е издание, исправленное. – Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2005. – 677 с.
2. Барановский В.П. Моделирование линейных и нелинейных элементов и систем автоматического управления: учебное пособие / В.П. Барановский. – Екатеринбург: Изд-во УГГГА, 2001. -49 с.
3. Леонов Р.Е. Вычислительные методы и прикладные программы: конспект лекций / Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2006.