Описание конечных групп с плотной системой F субнормальных подгрупп для формации F сверхразрешимых (стр. 10 из 12)

Предположим, что

--- максимальная подгруппа в . В существует максимальная подгруппа , не -субнормальная в и . Рассмотрим подгруппу . Так как и , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если , то, по лемме , --- минимальная несверхразрешимая группа. Тогда . Если , то, по лемме , --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим теперь, что . Тогда , ввиду леммы. Подгруппа , поэтому, согласно теоремы Машке, и . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа будет минимальной нормальной подгруппой группы , в противном случае в существует минимальная нормальная подгруппа , для которой и . Применяя лемму, получаем, что --- минимальная несверхразрешимая группа. Итак, мы показали, что в существует подгруппа такая, что --- минимальная несверхразрешимая группа. Значит, , и --- циклические группы. Последнее справедливо ввиду теоремы . По доказанному выше, может быть группой типа 2), 7) из данной теоремы. Если --- группа типа 7), то так как согласно лемме любая максимальная подгруппа из -субнормальна в , --- минимальная несверхразрешимая группа. Итак, мы показали, что подгруппа --- либо минимальная несверхразрешимая группа, либо является группой типа 2) из данной теоремы.

Так как подгруппа

максимальна в и , то и . Из того, что все силовские подгруппы из циклические, следует, что в всего четыре класса максимальных сопряженных подгрупп. Так как и --- циклическая группа, то максимальная подгруппа из нормальна в . Подгруппа максимальна в . Рассмотрим теперь подгруппу . Если , то . Если предположить, что , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Если , то --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Пусть . Тогда максимальна в , причем --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Итак, . Пусть . Тогда и, согласно доказанному выше, либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы.

Пусть

, где --- максимальная подгруппа из . Рассмотрим подгруппу . Если , то и, по доказанному, -субнормальна в . По теореме , . Пусть . Тогда и, согласно доказанному выше, либо сверхразрешима, либо минимальная несверхразрешимая группа, либо группа типа 2) из данной теоремы.

Подгруппа

, и циклические, поэтому в три класса максимальных сопряженных подгрупп и, значит, в три класса -нормальных максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы: , и . Группа в этом случае является группой типа 9) из данной теоремы.