Описание конечных групп с плотной системой F субнормальных подгрупп для формации F сверхразрешимых (стр. 11 из 12)

Пусть теперь

не максимальна в . Тогда , где . Если , то --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Пусть . Тогда . Ввиду дисперсивности группы . Пусть --- произвольная -нормальная максимальная подгруппа. Если --- -число, то сверхразрешима. Предположим, что --- степень . Тогда . содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Если , то --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Значит, . Подгруппа максимальна в , так как в противном случае сверхразрешима. По лемме --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие. Итак, сверхразрешима. Ввиду произвольности выбора , получаем, что --- минимальная несверхразрешимая группа и . Противоречие.

4. Рассмотрим случай

. Согласно лемме в группе -абнормальные максимальные подгруппы либо сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Если в имеется несверхразрешимая -абнормальная максимальная подгруппа , то и, ввиду разрешимости группы , . Противоречие. Пусть теперь в все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме, --- -группа. По лемме, либо --- максимальная подгруппа в , либо --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если немаксимальна в , то, по доказанному выше, . Остается случай, когда --- максимальная подгруппа в . В этом случае и в найдется максимальная подгруппа , не -субнормальная в . Рассмотрим подгруппу . . Ввиду леммы, каждая собственная подгруппа из -субнормальна в . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Если , то, по лемме, --- минимальная несверхразрешимая группа. Противоречие. Значит, и максимальна в . По лемме, --- минимальная несверхразрешимая группа. Тогда . Противоречие. Теорема доказана.

В случае, когда

--- формация всех сверхразрешимых групп, из теоремы вытекает результат Л.Н.Закревской.

Заметим, что в работе при описании групп с плотной системой

-субнормальных подгрупп, где --- формация всех сверхразрешимых групп, Л.Н.Закревской была допущенна ошибка. Так в ситуации, когда является холловой -абнормальной максимальной подгруппой, порядок которой делится на простое число , и холлова -подгруппа группы сверхразрешима, утверждается, что холлова -подгруппа из не максимальна в , что в общем случае не верно.