Описание конечных групп с плотной системой F субнормальных подгрупп для формации F сверхразрешимых (стр. 3 из 12)
Группа
называется группой с плотной системой 
-субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп 
и 
группы , из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе существует такая -субнормальная подгруппа 
, что 
. В этом случае также говорят, что множество -субнормальных в подгрупп плотно.Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.
С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп
удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп , то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из . Среди таких обобщений выделим следующие исследования.Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными
-тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.
В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы
, обладающая некоторым свойством , называется плотной в , если для любых двух подгрупп 
из , где 
не максимальна в 
, найдется -подгруппа такая, что 
. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы
, в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа
является -субнормальной в , если существует цепь подгрупп 
такая, что
является -нормальной максимальной подгруппой в 
для любого 
. Если совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, 
-замкнутой насыщенной формацией), то -субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных
--подгруппами, --субнормальными или --абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если
--- -замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно?В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда
--- класс всех 
-нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда --- произвольная -замкнутая насыщенная формация либо -нильпотентных, либо 
-дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.Пусть --- произвольная 
-замкнутая насыщенная формация сверхразрешимых групп, 
--- несверхразрешимая группа с плотной системой -субнормальных подгрупп. Тогда каждая -абнормальная максимальная подгруппа из либо принадлежит , либо является минимальной не -группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой.