Смекни!
smekni.com

Описание конечных групп с плотной системой F субнормальных подгрупп для формации F сверхразрешимых (стр. 3 из 12)

Группа

называется группой с плотной системой
-субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп
и
группы
, из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе
существует такая
-субнормальная подгруппа
, что
. В этом случае также говорят, что множество
-субнормальных в
подгрупп плотно.

Введение

Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.

С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп

удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп
, то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из
. Среди таких обобщений выделим следующие исследования.

Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными

-тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.

Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.

В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы

, обладающая некоторым свойством
, называется плотной в
, если для любых двух подгрупп
из
, где
не максимальна в
, найдется
-подгруппа
такая, что
. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.

В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы

, в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.

Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа

является
-субнормальной в
, если существует цепь подгрупп

такая, что

является
-нормальной максимальной подгруппой в
для любого
. Если
совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно,
-замкнутой насыщенной формацией), то
-субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.

В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных

--подгруппами,
--субнормальными или
--абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.

Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если

---
-замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее
-субнормальных подгрупп плотно?

В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда

--- класс всех
-нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда
--- произвольная
-замкнутая насыщенная формация либо
-нильпотентных, либо
-дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.

Описание конечных групп с плотной системой

-субнормальных подгрупп для формации
сверхразрешимых групп

Пусть

--- произвольная
-замкнутая насыщенная формация сверхразрешимых групп,
--- несверхразрешимая группа с плотной системой
-субнормальных подгрупп. Тогда каждая
-абнормальная максимальная подгруппа из
либо принадлежит
, либо является минимальной не
-группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой.