Смекни!
smekni.com

Описание конечных групп с плотной системой F субнормальных подгрупп для формации F сверхразрешимых (стр. 5 из 12)

Доказательство. По лемме, группа

разрешима. Если группа
не дисперсивна по Оре, то к ней применима теорема, и данная теорема верна. Поэтому далее мы будем полагать, что группа
дисперсивна по Оре.

1. Рассмотрим вначале случай

, где
и
--- различные простые числа. По лемме в группе
любая
-абнормальная максимальная подгруппа либо сверхразрешима, либо является минимальной несверхразрешимой группой у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Эти два случая мы и рассмотрим.

1.1. Пусть в

имеется несверхразрешимая
-абнормальная максимальная подгруппа
. По лемме,
является минимальной несверхразрешимой группой и
--- абелева группа. Так как
, то либо
, либо
. Если предположить, что
, то
и
. Поэтому
немаксимальна в
и, по лемме,
-субнормальна в
. Отсюда, по теореме ,
. Противоречие. Значит,
,
и
. Из того, что группа дисперсивна по Оре,
и
, следует, что
. Пусть
--- произвольная максимальная подгруппа из
. По условию, в
существует
-субнормальная подгруппа
такая, что
. Ясно, что
и, значит,
сверхразрешима. Следовательно,
-субнормальна в
и в
, где
--- формация всех сверхразрешимых групп. Применяя теорему, получаем. что подгруппа
сверхразрешима. Итак, в данном случае
--- группа типа 2) из данной теоремы.

1.2. Пусть теперь в

все
-абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме,
---
-группа. По лемме, либо
--- максимальная подгруппа в
, либо
--- максимальна в
-абнормальной максимальной подгруппе
группы
.

Пусть вначале

максимальна в
. Пусть
--- произвольная максимальная подгруппа из
. Рассмотрим подгруппу
. Если
-субнормальна в
, то, по теореме ,
. Предположим, что
не
-субнормальна в
. Тогда
содержится в некоторой
-абнормальной максимальной подгруппе
из
. Так как
, то
. Если
, то, согласно лемме,
--- минимальная не
-группа. Пусть
. Тогда
и
. Применяя теорему Машке, получаем, что
и
. Если
, то
. Противоречие. По лемме,
--- минимальная несверхразрешимая группа. Если
--- произвольная максимальная подгруппа из
, то, ввиду леммы,
-субнормальна в
. Применяя теорему, получаем, что подгруппа
. Значит,
--- группа типа 2) из данной теоремы, а
--- группа типа 3) из данной теоремы.