Смекни!
smekni.com

Описание конечных групп с плотной системой F субнормальных подгрупп для формации F сверхразрешимых (стр. 6 из 12)

Пусть теперь

немаксимальна в
. Тогда, по лемме,
содержится в качестве максимальной подгруппы в некоторой
-абнормальной максимальной подгруппе
группы
. Тогда группа
представима в виде
, где
---
-группа. Предположим, что
. Тогда любая
-нормальная максимальная подгруппа группы
имеет вид
, где
--- некоторая максимальная подгруппа из
, и, следовательно, по теореме , принадлежит формации
. Получили, что группа
--- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что
. Тогда, по теореме Машке ,
. Ввиду следующего равенства
получаем противоречие с тем, что
. Итак,
--- группа типа 1) из данной теоремы. Если же
, то группа
имеет вид
и
. Так как
максимальна в
, то
. Рассмотрим подгруппу
. Если
, то
-субнормальна в
. Учитывая, что
дисперсивна по Оре, по теореме , получаем, что
. Противоречие. Каждая собственная подгруппа из
будет немаксимальна в
и, по лемме,
-субнормальна в
. Если
максимальна в
, то
--- минимальная несверхразрешимая группа. В этом случае
--- группа типа 4) из данной теоремы. Если предположить, что
не максимальна в
, то она содержится в некоторой
-абнормальной максимальной подгруппе
из
. Получили, что
и
. Это значит, что
. Противоречие с тем, что
--- максимальная подгруппа в
.

2. Рассмотрим случай

, где
,
и
--- различные простые числа. Согласно лемме, в группе
либо все
-абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Рассмотрим эти два случая.

2.1. Предположим, что в

имеется несверхразрешимая
-абнормальная максимальная подгруппа
. По лемме,
является минимальной несверхразрешимой группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Предположим, что
. Так как
, то
и
,
. Применяя лемму и учитывая, что
, получаем
. Из того, что
разрешима, следует, что либо
, либо
нормальна в
. По теореме, в
существует подгруппа
. Подгруппа
содержится в некоторой
-абнормальной максимальной подгруппе
группы
. Предположим, что
. Тогда
будет немаксимальна в
и, по условию, найдется
-субнормальная подгруппа
такая, что
. Ясно, что
. Поэтому
, а это значит, что
-субнормальна в
. Тогда, по теореме ,
. Это значит, что
. Ясно также, что
и
максимальна в
. Тогда
--- минимальная несверхразрешимая группа, у которой
--- абелева группа. Пусть
--- произвольная максимальная подгруппа из
. Рассмотрим подгруппу
. Предположим, что
. Так как либо
, либо
, то пусть для определенности
. Из того, что
, следует, что
и
. Имеем
и
--- минимальная нормальная подгруппа в
, поэтому
. Значит, подгруппа
содержится в некоторой
-абнормальной максимальной подгруппе
из
. Пусть
--- произвольная подгруппа из
, отличная от
. Тогда, по условию, в
существует
-субнормальная подгруппа
такая, что
. Ясно, что
. Поэтому
. Отсюда следует, что
-субнормальна в
. Предположим, что
. Согласно лемме ,
--- минимальная несверхразрешимая группа. В этом случае
--- группа типа 5). Пусть
. Тогда
, где
---
-группа. Если
, то, ввиду леммы ,
--- минимальная несверхразрешимая группа. Если
, то, применяя теорему , получаем, что
--- циклическая группа. Противоречие. Предположим, что
. Тогда
. Подгруппа
самонормализуема в
, так как в
и
, подгруппа
является максимальной. Значит,
--- группа Фробениуса с ядром
и дополнительным множителем
. По теореме ,
. Противоречие. Остается рассмотреть случай, когда
. По теореме Машке ,
и
. Отсюда получаем, что
и
. Противоречие. Значит,
. Если
, то проводя рассуждения, аналогично вышеизложенным, получаем, что
либо принадлежит формации, либо является минимальной несверхразрешимой группой. Итак,
--- группа типа 5) из данной теоремы.