Описание конечных групп с плотной системой F субнормальных подгрупп для формации F сверхразрешимых (стр. 7 из 12)

Пусть теперь

--- минимальная несверхразрешимая группа и . Так как , то , и . Предположим, что . По теореме , в существует подгруппа , содержащая . Так как , то и содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . Предположим, что . Применяя лемму, получаем, что , а значит, . Подгруппа немаксимальна в , так как , и . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Отсюда следует, что -субнормальна в , а значит, и в . Противоречие. Итак, --- минимальная несверхразрешимая группа. Так как , то . Приходим к случаю, рассмотренному выше, откуда следует, что в нет -абнормальных максимальных подгрупп, порядок которых делится на три различных простых числа. Итак, , и . Ясно, что и . Ввиду того, что группа дисперсивна по Оре, получаем, что --- наибольший простой делитель и , а значит, . Из следует, что . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . По условию, в существует такая -субнормальная подгруппа такая, что . Ясно, что . Поэтому сверхразрешима. Отсюда следует, что -субнормальна в , где --- формация всех сверхразрешимых групп. Применяя теорему, получаем, что подгруппа сверхразрешима. Следовательно, --- группа типа 2) из данной теоремы.