Описание конечных групп с плотной системой F субнормальных подгрупп для формации F сверхразрешимых (стр. 8 из 12)

2.2. Пусть теперь в

все -абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме --- -группа. По лемме либо --- максимальная подгруппа в , либо --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе группы .

Пусть

максимальна в . Так как , то . Согласно доказанному выше, получаем, что в этом случае группа типа 7) из данной теоремы.

Предположим теперь, что

не максимальна в . Тогда , где --- -группа. Предположим, что . Тогда любая -нормальная максимальная подгруппа группы имеет вид , где --- некоторая максимальная подгруппа из , и, следовательно, по теореме принадлежит формации . Получили, что группа --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что . Тогда, по теореме Машке, . Ввиду следующего равенства получаем противоречие с тем, что . Итак, --- группа типа 1) из данной теоремы. Пусть теперь . В этом случае . Так как , то . Согласно лемме , подгруппы и будут -субнормальны в . Очевидно, что , . Поэтому и . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если , то --- минимальная несверхразрешимая группа. Предположим, что . Тогда , где --- -группа и . Так как , то --- элементарная абелева группа. Значит, и --- минимальная несверхразрешимая группа. Следовательно, --- группа типа 6) из данной теоремы.