Смекни!
smekni.com

Описание конечных групп с плотной системой F субнормальных подгрупп для формации F сверхразрешимых (стр. 9 из 12)

3. Рассмотрим случай

, где
,
,
и
--- различные простые числа. Согласно лемме, в группе
либо все
-абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы, либо являются минимальными несверхразрешимыми группами, у которых нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Рассмотрим эти два случая.

3.1. Предположим, в

имеется несверхразрешимая
-абнормальная максимальная подгруппа
. По лемме,
является минимальной несверхразрешимой группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. Так как
, то
и
,
. Отсюда получаем, что
и
. Применяя леммы и получаем, что
. Рассмотрим подгруппу
. Такая группа существует согласно теореме . Так как
, то
содержится в некоторой
-абнормальной максимальной подгруппе
из
. Если
, то
и, согласно лемме,
. Подгруппа
немаксимальна в
. Поэтому, по лемме ,
-субнормальна в
, а значит, и в
. Противоречие. Следовательно,
и, согласно лемме,
--- минимальная несверхразрешимая группа, у которой
является минимальной нормальной подгруппой. Отсюда следует, что
и
. Рассмотрим подгруппу
. Подгруппа
циклическая согласно теореме. Поэтому
--- абелева группа. Так как
, то
. Аналогично получаем, что коммутантом группы
. является
. Пусть
. Легко видеть, что
сверхразрешима. Ввиду теоремы,
. Так как
и
, то
и
. Отсюда получаем, что
. Значит,
и
. Пусть
--- произвольная максимальная подгруппа из
. По условию, в
существует
-субнормальная максимальная подгруппа
такая, что
. Ясно, что
. Поэтому
принадлежит
и
-субнормальна в
. Применяя теорему, получаем
. Так как
и
--- циклические группы, согласно теоремы, то в
два класса максимальных сопряженных подгрупп, представителями которых являются подгруппы
и
, где
--- максимальная подгруппа из
,
--- максимальная подгруппа из
. Значит, подгруппы вида
и
принадлежат
, и
--- группа типа 8) из данной теоремы.

3.2. Пусть теперь в

все
-абнормальные максимальные подгруппы сверхразрешимы. По лемме,
---
-группа. По лемме, либо
--- максимальная подгруппа в
, либо
максимальна в
-абнормальной максимальной подгруппе
группы
.