Произведение двух групп (стр. 10 из 16)

Лемма 5 . Конечная группа с подгруппой Фиттинга индекса

сверхразрешима.

Доказательство. Проведем индукцией по порядку группы. Пусть

- конечная группа, в которой подгруппа Фиттинга имеет индекс . По индукции можно считать, что подгруппа Фраттини единична и в группе только одна минимальная нормальная подгруппа. Поэтому F - минимальная нормальная в подгруппа. Пусть - инволюция из . Если , то - нормальная в подгруппа. Если , то и - неединичная нормальная в подгруппа. Итак, в группе имеется нормальная подгруппа простого порядка. По индукции сверхразрешима, значит, сверхразрешима и группа .

Лемма 6 . Конечная группа, являющаяся произведением двух подгрупп порядков, делящих

, сверхразрешима.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. Пусть конечная группа

, где подгруппы и имеют порядки, делящие , - простое число. Все фактор-группы группы удовлетворяют условиям леммы, поэтому по индукции нетривиальные фактор-группы группы сверхразрешимы. Следовательно, подгруппа Фраттини группы единична, а подгруппа Фиттинга - минимальная нормальная в подгруппа. По лемме 2 подгруппа нециклическая.

Если

- 2-группа, то и изоморфна подгруппе группы , поэтому - группа порядка 3, а группа имеет порядок 12 и содержит подгруппу порядка 6. Следовательно, сверхразрешима.

Пусть теперь

- -группа. Так как сверхразрешима по индукции, то 2-нильпотентна. Но , так как , значит, - 2-группа, которая по лемме 5 имеет порядок 4. Группа неприводимо действует на подгруппе , поэтому циклическая по теореме Машке. С другой стороны, и силовская 2-подгруппа из есть произведение двух подгрупп и порядков 2. Противоречие. Лемма доказана.

Теорема 2. Если группы

и содержат циклические подгруппы нечетных порядков и индексов , то конечная группа сверхразрешима.

Доказательство. Воспользуемся индукцией по порядку группы. По теореме 1 группа

разрешима. Поскольку условия теоремы переносятся на все фактор-группы, то по индукции все нетривиальные фактор-группы группы сверхразрешимы. Поэтому подгруппа Фраттини группы единична, а подгруппа Фиттинга - единственная минимальная нормальная в подгруппа. Ясно, что имеет непростой порядок. Если - 2-группа, то порядка 4 и изоморфна подгруппе группы . Но теперь порядок делит 12, и сверхразрешима по лемме 6.

Следовательно,

- -группа порядка . Силовская -подгруппа в метациклическая по теореме III.11.5, поэтому - элементарная абелева порядка и изоморфна подгруппе группы , в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как для некоторой максимальной в подгруппы , то из леммы 1 получаем, что - силовская в подгруппа и можно считать, что , где .

Через

- обозначим разность . Так как -холловские подгруппы из и из нормальны в и соответственно, то - -холловская в подгруппа. Если , то сверхразрешима по лемме 6. Пусть . Для любого элемента имеем: и по лемме 4 либо , либо . Если , то из минимальности получаем, что и централизует , что невозможно. Значит, и . Но в единственная минимальная нормальная подгруппа, поэтому и делит . Но если , то нормальна в , противоречие. Значит, .