Произведение двух групп (стр. 12 из 16)

3. Произведение разрешимой и циклической групп

В настоящей заметке доказывается следующая

Теорема 1. Пусть конечная группа

является произведением разрешимой подгруппы и циклической подгруппы и пусть . Тогда , где - нормальная в подгруппа, и или для подходящего .

означает произведение всех разрешимых нормальных в подгрупп.

Следствие. Если простая группа

является произведением разрешимой и циклической подгрупп, то .

Несмотря на то, что среди

при нечетном нет групп факторизуемых разрешимой подгруппой и циклической, группы допускают указанную факторизацию для каждого .

Из теоремы 1 вытекает

Теорема 2. Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.

Работа состоит из двух параграфов. В первом параграфе приводятся необходимые вспомогательные результаты. Кроме того, доказывается теорема 3, которая является обобщением теоремы Виландта о разрешимости внешней группы автоморфизмов простой группы, содержащей подгруппу простого индекса. В

3.2 доказываются теоремы 1 и 2.

Все обозначения и определения стандартны. Запись

означает, что конечная группа является произведением своих подгрупп и .

3.1 Вспомогательные результаты

Пусть

- подгруппа группы . Тогда означает наибольшую нормальную в подгруппу, которая содержится в , a - наименьшую нормальную в подгруппу, которая содержит .

Лемма 1. Если

и содержит подгруппу , нормальную в , то .

Лемма 2. Пусть

и - нормальная в подгруппа. Если , то .

Доказательство. Поскольку

, то . Так как , то

Лемма 3 . Если

и абелева, то .

Доказательство. Пусть

. Ясно, что и . Если , то и . Таким образом, и .

Лемма 4 . Пусть

и не делит . Тогда не сопряжен ни с одним элементом из .

Доказательство. Если

, то и делит . Но по лемме VI.4.5 из, поэтому . Противоречие.

Лемма 5 . Пусть

- минимальная нормальная подгруппа группы и . Если разрешима, то и изоморфна подгруппе из .

Доказательство.

. Так как разрешима, то и . По лемме 1.4.5 из группа есть группа автоморфизмов .