Произведение двух групп (стр. 13 из 16)

Лемма 6 . Пусть

, где - собственная подгруппа , а циклическая. Если , то справедливо одно из следующих утверждений:

1)

и - нормализатор силовской 2-подгруппы, а ;

2)

, а ;

3)

, а .

Доказательство. См. теорему 0.8 из.

Лемма 7 . Группа

при любом является произведением разрешимой подгруппы и циклической.

Доказательство. Если

, то утверждение следует из леммы 6. Пусть , и - силовская -подгруппа в . Известно, что циклическая и в есть циклическая подгруппа порядка . Так как и , то .

Лемма 8 . Если

, то является произведением разрешимой и циклической подгрупп.

Доказательство. Известно, что

, где - циклическая группа порядка, делящего , и нормализует подгруппу , где - силовская 2-подгруппа в . Так как , где - циклическая группа порядка , то и разрешима.

Лемма 9 . Группа

является произведением разрешимой подгруппы и циклической. Группа не допускает указанной факторизации.

Доказательство. Группа

имеет порядок и в ней содержится подгруппа индекса 2. Так как дважды транзитивна на множестве из 13 символов, то стабилизатор точки имеет порядок и является разрешимой группой. Поэтому является произведением разрешимой подгруппы порядка и циклической подгруппы порядка 13.

Покажем, что

не содержит подгруппы индекса 13. Допустим противное и пусть - подгруппа порядка . Так как дважды транзитивна на смежных классах по , то центр имеет нечетный порядок по лемме 2.2, а по лемме Берноайда , где .

Пусть

- подгруппа Фиттинга группы , где . Известно, что нормализатор силовской 3-подгруппы в имеет порядок , поэтому . Так как разрешима, то и изоморфна подгруппе из .

Предположим, что

. Тогда делит порядок , а значит и . Но это невозможно, так как . Противоречие.

Следовательно,

. Далее , так как - подгруппа нечетного порядка, поэтому . Ясно, что , a и . Силовская 2-подгруппа из является силовской в , значит, она полудиэдральная порядка 16, все инволюции сопряжены и централизатор каждой инволюции изоморфен порядка . Поэтому . как подгруппа из полудиэдральна при , либо циклическая, либо кватернионная, либо диэдральная порядка 4 или 8. В любом случае порядок не делится на 9. Таким образом, . Противоречие. Итак, не содержит подгруппы индекса 13.