Смекни!
smekni.com

Произведение двух групп (стр. 14 из 16)

Пусть

, где
- разрешимая подгруппа, а
- циклическая. В
силовокие 13-подгруппы самоцентрализуемы, поэтому 13 делит порядок
. Так как в
нет
- холловской подгруппы, то 3 делит порядок
. Но в
силовская 3-подгруппа имеет экспоненту 3, поэтому в
есть подгруппа
порядка
. Теперь силовская 13-подгруппа из
не самоцентрализуема. Противоречие. Лемма 9 доказана.

Теорема 3 . Если

- простая группа, где
- холловская собственная в
подгруппа, а
- абелева
-группа, то
есть расширение группы, изоморфной секции из
, с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если
циклическая, то
есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

Доказательство. Из простоты

и леммы Чунихина вытекает, что
и
максишльна в
. Представление группы
перестановками на смежных классах подгруппы
будет точным и дважды транзитивным, следовательно, есть подгруппа перестановок симметрической группы S степени, равной порядку
. Так как
- регулярная и транзитивная группа и
, то
также транзитивна. Но
по теореме 1.6.5, поэтому
самоцентрализуема в
.

Группа автоморфизмов

, индуцированная элементами из
, называется группой подстановочных автоморфизмов. Очевидно
, а по теореме 3 подгруппа
нормальна в
и
- элементарная абелева 2-группа.

По лемме Фраттини

, поэтому обозначив
будем иметь
. Так как
, то
изоморфна секции из
. В частности, если
циклическая, то
абелева и
есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

3.2 Доказательства теорем 1 и 2

Доказательство теоремы 1 . Предположим, что теорема неверна и пусть

- контрпример минимального порядка. Так как
, то
и
по лемме 3.

Допустим, что

не максимальна в
и пусть
- прямое произведение минимальных нормальных в
подгрупп и
- наибольшее. Очевидно,
содержит все минимальные нормальные в
подгруппы. Так как
, то
и
. Поэтому
изоморфна подгруппе из
.

Допустим, что

для некоторого
. Тогда
и
разрешима. Значит,
. Пусть
- подгруппа в
, собственно содержащая
. Так как
и
- нормальная в
неединичкая подгруппа, то
. Теперь минимальная нормальная в
подгруппа из
совпадает с
и
, противоречие. Таким образом,
для любого
. По индукции
изоморфна подгруппе
, где
- есть прямое произведение, построенное из групп
. Очевидно, что
, поэтому
также есть прямое произведение, построенное из групп
. Следовательно,
обладает этим же свойством и
- подгруппа из
. Противоречие.