Произведение двух групп (стр. 14 из 16)

Пусть

, где - разрешимая подгруппа, а - циклическая. В силовокие 13-подгруппы самоцентрализуемы, поэтому 13 делит порядок . Так как в нет - холловской подгруппы, то 3 делит порядок . Но в силовская 3-подгруппа имеет экспоненту 3, поэтому в есть подгруппа порядка . Теперь силовская 13-подгруппа из не самоцентрализуема. Противоречие. Лемма 9 доказана.

Теорема 3 . Если

- простая группа, где - холловская собственная в подгруппа, а - абелева -группа, то есть расширение группы, изоморфной секции из , с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если циклическая, то есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

Доказательство. Из простоты

и леммы Чунихина вытекает, что и максишльна в . Представление группы перестановками на смежных классах подгруппы будет точным и дважды транзитивным, следовательно, есть подгруппа перестановок симметрической группы S степени, равной порядку . Так как - регулярная и транзитивная группа и , то также транзитивна. Но по теореме 1.6.5, поэтому самоцентрализуема в .

Группа автоморфизмов

, индуцированная элементами из , называется группой подстановочных автоморфизмов. Очевидно , а по теореме 3 подгруппа нормальна в и - элементарная абелева 2-группа.

По лемме Фраттини

, поэтому обозначив будем иметь . Так как , то изоморфна секции из . В частности, если циклическая, то абелева и есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.

3.2 Доказательства теорем 1 и 2

Доказательство теоремы 1 . Предположим, что теорема неверна и пусть

- контрпример минимального порядка. Так как , то и по лемме 3.

Допустим, что

не максимальна в и пусть - прямое произведение минимальных нормальных в подгрупп и - наибольшее. Очевидно, содержит все минимальные нормальные в подгруппы. Так как , то и . Поэтому изоморфна подгруппе из .

Допустим, что

для некоторого . Тогда и разрешима. Значит, . Пусть - подгруппа в , собственно содержащая . Так как и - нормальная в неединичкая подгруппа, то . Теперь минимальная нормальная в подгруппа из совпадает с и , противоречие. Таким образом, для любого . По индукции изоморфна подгруппе , где - есть прямое произведение, построенное из групп . Очевидно, что , поэтому также есть прямое произведение, построенное из групп . Следовательно, обладает этим же свойством и - подгруппа из . Противоречие.