Произведение двух групп (стр. 15 из 16)

Итак,

максимальна в . Поэтому представление перестановками на множестве смежных классов подгруппы будет точным и примитивным. Так как , то в этом представлении регулярна и дважды транзитивна. Пусть минимальная нормальная в подгруппа. Применяя теорему 11.3 и результат Берноайда, заключаем, что проста и примитивна, т.е. максимальна в . Так как , то разрешима и по лемме 5. Таким образом, изоморфна подгруппе из .

Предположим, что

. Тогда неразрешима, и . Так как , то по индукции изоморфна подгруппе из , а или и из заключения теоремы. Следовательно, и по лемме 2.

Пусть порядок

четен. Тогда содержит подгруппу индекса 2 по лемме 4.1. По теореме Хольта подгруппа 2-транзитивна и изоморфна - степень нечетного простого числа или группа типа Ри в их обычных 2-транзитивных представлениях. Если , то из заключения теоремы. Внешняя группа автоморфизмов группы типа Ри имеет нечетный порядок, поэтому не содержится в группе автоморфизмов группы типа Ри.

Пусть теперь

изоморфна - простое нечетное число. Тогда , где и , где - силовская -подгруппа из и . Из леммы 2 получаем . Так как в все инволюции сопряжены и имеет четный порядок, то по лемме 4 подгруппа имеет нечетный порядок, в частности не делит .

Предположим, что существует простое число

, делящее и . Если , то по лемме 2.5 порядок делит , а так как , то делит . Если , то делит и элементарные вычисления и применение леммы 2.5 показывают, что делит . Так как , то в любом случае . Известно, что , поэтому и . Противоречие с леммой 2.5.

Следовательно,

не может быть изоморфна . Случай, когда порядок четен, рассмотрен полностью.

Пусть порядок подгруппы

нечетен. Тогда содержит некоторую силовскую 2-подгруппу из . По теореме О'Нэна подгруппа изоморфна или и нечетное число.

Пусть

изоморфна .Тогда и делит . Поэтому содержит силовскую 2-подгруппу из и, используя информацию о подгруппах в , получаем, что делит , a делит или . Теперь делится на , которое делится на или на . Противоречие.