Смекни!
smekni.com

Произведение двух групп (стр. 15 из 16)

Итак,

максимальна в
. Поэтому представление
перестановками на множестве смежных классов подгруппы
будет точным и примитивным. Так как
, то
в этом представлении регулярна и
дважды транзитивна. Пусть
минимальная нормальная в
подгруппа. Применяя теорему 11.3 и результат Берноайда, заключаем, что
проста и примитивна, т.е.
максимальна в
. Так как
, то
разрешима и
по лемме 5. Таким образом,
изоморфна подгруппе из
.

Предположим, что

. Тогда
неразрешима,
и
. Так как
, то по индукции
изоморфна подгруппе из
, а
или
и
из заключения теоремы. Следовательно,
и
по лемме 2.

Пусть порядок

четен. Тогда
содержит подгруппу индекса 2 по лемме 4.1. По теореме Хольта подгруппа
2-транзитивна и изоморфна
- степень нечетного простого числа или группа типа Ри в их обычных 2-транзитивных представлениях. Если
, то
из заключения теоремы. Внешняя группа автоморфизмов группы типа Ри имеет нечетный порядок, поэтому
не содержится в группе автоморфизмов группы типа Ри.

Пусть теперь

изоморфна
- простое нечетное число. Тогда
, где
и
, где
- силовская
-подгруппа из
и
. Из леммы 2 получаем
. Так как в
все инволюции сопряжены и
имеет четный порядок, то по лемме 4 подгруппа
имеет нечетный порядок, в частности
не делит
.

Предположим, что существует простое число

, делящее
и
. Если
, то по лемме 2.5 порядок
делит
, а так как
, то
делит
. Если
, то
делит
и элементарные вычисления и применение леммы 2.5 показывают, что
делит
. Так как
, то в любом случае
. Известно, что
, поэтому
и
. Противоречие с леммой 2.5.

Следовательно,

не может быть изоморфна
. Случай, когда порядок
четен, рассмотрен полностью.

Пусть порядок подгруппы

нечетен. Тогда
содержит некоторую силовскую 2-подгруппу из
. По теореме О'Нэна подгруппа
изоморфна
или
и
нечетное число.

Пусть

изоморфна
.Тогда
и
делит
. Поэтому
содержит силовскую 2-подгруппу из
и, используя информацию о подгруппах в
, получаем, что
делит
, a
делит
или
. Теперь
делится на
, которое делится на
или на
. Противоречие.