Смекни!
smekni.com

Произведение двух групп (стр. 4 из 16)

Пусть

. Если
- циклическая, то
разрешима по теореме В. А. Ведерникова. Поэтому
,
- циклическая подгруппа индекса 2,
. Пусть
, где
- силовская 2-подгруппа из
,
- ее дополнение. Если
, то
разрешима. Теперь
и
можно считать силовской 2-подгруппой в
. Так как
и
, то
. Пусть
и
. Тогда
и
. По лемме С. А. Чунихина подгруппа
максимальна в
и
. Представление группы
подстановками смежных классов по подгруппе
дважды транзитивное: если
- простое число, если
- составное. Из леммы 3 вытекает теперь, что
.Противоречие.

Доказательство теоремы 1 . Применим индукцию к порядку группы G. Пусть

и
- циклические инвариантные подгруппы в
и в
соответственно, чьи индексы равны 1 или 2, а
и
- те силовские 2-подгруппы из
и
, для которых
и
есть силовская 2-подгруппа
. Будем считать, что
. Если
, то
и
разрешима по теореме Ито-Хупперта. Поэтому в дальнейшем полагаем, что
. Ввиду леммы 1 каждая фактор-группа удовлетворяет условиям теоремы, поэтому

Допустим, что

. Если
, то
и
. Так как
разрешима, то
. Если
, то
и
разрешима.

Пусть теперь

. Тогда и
. Так как
не является силовской подгруппой в
, то
содержится как подгруппа индекса 2 в некоторой 2-группе
. Обозначим через
силовскую 2-подгруппу из
. Очевидно, что
инвариантна в
.

Предположим, что

и пусть
- инволюция из
. В
все подгруппы характеристические и
инвариантна в
, поэтому
и
. Пусть
- максимальная в
подгруппа, которая содержит
. Тогда
разрешима по индукции. Если
, то
содержится в
и
. Значит,
. Так как
- собственная в
подгруппа, то
,
и
. Теперь
- дважды транзитивная группа степени
на множестве смежных классов по
: если
- простое число, то применимо утверждение из, стр. 609; если
составное. Из леммы 3 получаем, что
. Противоречие.

Следовательно,

. Если
, то
и
.Так как
не содержит подгрупп, инвариантных в
, то представление группы
подстановками по подгруппе
- точное степени 4. Поэтому
- группа диэдра порядка 8,
и
. В этом случае
неабелева. Напомним, что
и
. Таким образом, для силовской 2-подгруппы
из
имеем:
- группа порядка 4 или неабелева группа порядка 8 (если
).