Смекни!
smekni.com

Произведение двух групп (стр. 5 из 16)

Предположим, что порядки групп

и
делятся одновременно на нечетное простое число
и пусть
и
- силовские
-подгруппы из
и
соответственно. Так как
инвариантна в
, a
инвариантна в
, то
и
- силовская
-подгруппа в
. Без ограничения общности можно считать, что
. По теореме VI.10.1 из группа
содержит неединичную подгруппу
, инвариантную в
. Но теперь
и
, а так как
инвариантна в
, a
разрешима, то
по лемме С. А. Чунихина. Противоречие. Следовательно, порядки
и
не имеют общих нечетных делителей. В частности, в группе
силовские подгруппы для нечетных простых чисел циклические.

Пусть

- минимальная инвариантная в
подгруппа и
- силовская 2-подгруппа из
, которая содержится в
. Так как
, то
неразрешима и
. Подгруппа
даже простая потому, что силовские подгруппы по нечетным простым числам циклические.

Пусть вначале

. Тогда
и
неабелева. По теореме П. Фонга из группа
диэдральная или полудиэдральная. Но в этих случаях
. Непосредственно проверяется, что диэдральная и полудиэдральная группа порядка 16 не является произведением двух групп порядка 4.

Предположим теперь что

. Тогда
- элементарная абелева подгруппа или диэдральная. Если
абелева, то
или группа Янко
порядка 175560. Так как
неабелева, то
и индекс
в
четен. Группа
разрешима, поэтому
и
или
. Ho
группа порядка 3, a
. Противоречие. Если
- диэдральная группа порядка 8, то
- нечетное простое число или
. Но группы
и
не допускают нужной факторизации, поэтому
- собственная в
подгруппа. Теперь
или
. Если
, то
- диэдральная группа порядка 16, а так как
, то
. Противоречие. Если
, то
и в
существует подгруппа порядка
или
.

Пусть, наконец,

. Тогда
и
. Так как фактор-группа
разрешима по индукции, то
и
. Используя самоцентрализуемость силовской
-подгруппы в
, нетрудно показать, что
не допускает требуемой факторизации. Теорема доказана.