Произведение двух групп (стр. 9 из 16)

Лемма 3 . Если в сверхразрешимой группе нет неединичных нормальных 2-подгрупп, то силовская 2-подгруппа абелева.

Доказательство. Коммутант сверхразрешимой группы нильпотентен (теорема VI.9.1), поэтому силовская 2-подгруппа из коммутанта нормальна в группе. Если коммутант имеет нечетный порядок, то силовская 2-подгруппа в группе абелева.

Напомним, что

- наибольшая нормальная в -подгруппа, - центр группы , а - наименьшая нормальная в подгруппа, содержащая . Через обозначается -длина группы .

Лемма 4 . Пусть

и - подгруппы конечной группы , обладающие, следующими свойствами:

1)

для всех ;

2)

, где .

Тогда

.

Доказательство. См. лемму 1.

Теорема 1 . Пусть конечная группа

, где и - группы с циклическими подгруппами индексов . Тогда разрешима, и для любого простого нечетного .

Доказательство. По теореме из группа

разрешима. Для вычисления -длины воспользуемся индукцией по порядку группы . Вначале рассмотрим случай нечетного . По лемме VI.6.4 подгруппа Фраттини единична и в группе единственная минимальная нормальная подгруппа. По теореме III.4.5 подгруппа Фиттинга - минимальная нормальная подгруппа. Так как , то - -группа. Если , то - абелева группа порядка, делящего , а так как , то . Силовская -подгруппа в метациклическая по теореме III.11.5, поэтому - элементарная абелева порядка и изоморфна подгруппе из , в которой силовская -подгруппа имеет порядок . Так как для некоторой максимальной в подгруппы , то из леммы 1 получаем что - силовская в подгруппа и .

Рассмотрим теперь 2-длину группы

. Ясно, что и - единственная минимальная нормальная в подгруппа, которая является элементарной абелевой 2-подгруппой. Пусть и - -холловские подгруппы из и соответственно. По условию теоремы - циклическая нормальная в подгруппа, - циклическая нормальная в подгруппа. Теперь - -холловская в подгруппа по теореме VI.4.6, и можно считать, что . Для любого элемента имеем: , a по лемме 4 либо , либо . Но если , то и централизует , что невозможно. Значит, , а так как в только одна минимальная нормальная подгруппа, то и - 2-группа. Фактор-группа не содержит нормальных неединичных 2-подгрупп, поэтому подгруппа Фиттинга имеет нечетный порядок. Но -холловская в подгруппа циклическая, а по лемме 2 фактор-группа сверхразрешима и силовская 2-подгруппа в абелева по лемме 3, Теперь по теореме VI.6.6 и . Теорема доказана.