МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Произведение двух групп
Курсовая работа
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-31
Закревская С.А.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии
Монахов В. С.
Гомель 2005
Содержание
Введение

1 О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса

2 О произведении двух групп с циклическими подгруппами индекса 2

3 Произведение разрешимой и циклической групп

3.1. Вспомогательные результаты

3.2. Доказательства теорем 1 и 2
Заключение
Список литературы
Введение
Данную работу можно рассматривать как продолжение трудов Б. Хупперта и В. Скотта. В ней приводятся свойства конечных групп, являющихся произведением двух групп, а именно являющихся произведением двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса

, произведением двух групп с циклическими подгруппами индекса 2, произведением разрешимой и циклической групп.
Рассматриваются вопросы разрешимости, сверхразрешимости и изоморфизма конечных групп, с приведенными выше свойствами и приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Так же приводятся доказательства следующих теорем:
Теорема 1.1 . Если

и

- группы с циклическими подгруппами индексов

, то конечная группа

разрешима.
Теорема 1.2 . Пусть

- группа Шмидта, а

- группа с циклической подгруппой индекса

. Если

и

- конечная неразрешимая группа, то

изоморфна подгруппе

, содержащей

, для подходящего

.
Теорема 1.3 . Пусть

- 2-разложимая группа, а группа

имеет циклическую инвариантную подгруппу нечетного порядка и индекса 4. Если

и

- конечная неразрешимая группа, то

изоморфна подгруппе

, содержащей

, для подходящего

.
Теорема 2.1 . Пусть конечная группа

, где

и

- группы с циклическими подгруппами индексов

. Тогда

разрешима,

и

для любого простого нечетного

.
Теорема 2.2 . Если группы

и

содержат циклические подгруппы нечетных порядков и индексов

, то конечная группа

сверхразрешима.
Теорема 2.3 . Пусть конечная группа

, где

- циклическая подгруппа нечетного порядка, а подгруппа

содержит циклическую подгруппу индекса

. Если в

нет нормальных секций, изоморфных

, то

сверхразрешима.
Теорема 3.1 . Пусть конечная группа

является произведением разрешимой подгруппы

и циклической подгруппы

и пусть

. Тогда

, где

- нормальная в

подгруппа,

и

или

для подходящего

.
Теорема 3.2 . Конечная группа, являющаяся произведением 2-нильпотентной подгруппы и циклической подгруппы, непроста. Если циклический фактор имеет нечетный порядок, то группа разрешима.
Теорема 3.3 . Если

- простая группа, где

- холловская собственная в

подгруппа, а

- абелева

-группа, то

есть расширение группы, изоморфной секции из

, с помощью элементарной абелевой 2-группы. В частности, если

циклическая, то

есть расширение абелевой группы с помощью элементарной абелевой 2-группы.
1. О произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса
Доказывается, что конечная группа

разрешима, если группы

и

содержат циклические подгруппы индексов

. Приводится описание двух классов неразрешимых факторизуемых групп. Библ. 18 назв.
В работе Б. Хупперт установил разрешимость конечной группы, которая является произведением двух диэдральных подгрупп. В. Скотт получил разрешимость группы

, допустив в качестве множителей

и

еще так называемые дициклические группы. Диэдральные и дициклические группы содержат циклические подгруппы индекса 2, но не исчерпывают весь класс групп с циклическими подгруппами индекса 2. В настоящей заметке доказана