Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 10 из 21)

2.

. Будем доказывать этот случай по индукции, используя тот уже доказанный нами факт, что для -абнормальных максимальных подгрупп, индекс которых не является степенью , утверждение леммы выполняется. Нам надо рассмотреть две возможности: --- либо типа 2), либо типа 3) из леммы.

Рассмотрим сначала случай, когда

типа 2), т.е. , силовская -подгруппа из совпадает с и является минимальной нормальной подгруппой в . Ясно, что содержит силовскую -подгруппу группы , а нормальна в ; а кроме того, холлова -подгруппа из является холловой -подгруппой в . Подгруппа является -абнормальной максимальной подгруппой в ; кроме того, --- холлова -подгруппа в . Если --- любая -абнормальная максимальная подгруппа из , не сопряженная с , то индекс не делится на . Но тогда --- -абнормальная максимальная подгруппа в с индексом, не делящимся на . По доказанному, либо -нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Будем считать, что . Заметим, что . Если --- -замкнутая группа Миллера-Морено, то --- минимальная нормальная подгруппа в и, значит, , что невозможно. Таким образом, в все -абнормальные максимальные подгруппы -нильпотентны. По теореме, --- -группа. Вспоминая, что , получаем . Допустим, что в имеется максимальная подгруппа такая, что не -нильпотентна. По теореме, не -субнормальна в . Так как не максимальна в , то для некоторой собственной -субнормальной подгруппы из . Значит, . Подгруппа максимальна в и содержится в . Поэтому . Так как и , то является собственной -субнормальной подгруппой в , и поэтому является собственной подгруппой в . Так как не -нильпотентна, то . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из . По индукции, либо -нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Предположим, что --- группа Миллера-Морено. Тогда , где максимальна в , а --- минимальная нормальная подгруппа в . Так как и , то , что невозможно, так как --- собственная подгруппа в . Значит, -нильпотентна и, более того, принадлежит . Если не максимальна в , то, по условию, , где -субнормальна в . Но тогда -субнормальна в , что невозможно. Таким образом, максимальна в и, значит, , где . Так как и максимальна в и имеет силовскую -подгруппу порядка , то --- максимальная нормальная подгруппа в , а значит, --- тоже элементарная абелева -группа.