Смекни!
smekni.com

Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 11 из 21)

2.1.

,
. Так как
--- минимальная нормальная подгруппа в
, то
. По теореме Машке,
, где
. Так как
, то
-главные факторы
и
центральны. Но тогда
и
содержатся в
. Если
, то из
вытекает, что
, а это противоречит тому, что
---
-эксцентральный главный фактор в
. Значит,
. Рассмотрим подгруппу
. Подгруппа
не максимальна в
, поэтому
, где
--- некоторая
-субнормальная подгруппа из
. Так как
, то
не может быть
-субнормальной в
. Поэтому
. Из максимальности
в
выводим, что
совпадает либо с
, либо с
. В обоих случаях
. Отсюда и из
-субнормальности подгруппы
следует, что
-субнормальна в
, и мы приходим к противоречию.

2.2.

,
. Так как
, то главные факторы
и
изоморфны, откуда выводим, что
содержится в
. Но тогда
--- неединичная подгруппа из
, что невозможно, так как
-эксцентральна. Получили противоречие.

2.3.

. Так как
, то из
следует, что
, а это противоречит минимальности
в
. Поэтому остается принять, что
. Это означает, что
-нильпотентна. Но
была выбрана ранее так, что
не
-нильпотентна. Снова получили противоречие.

Таким образом, в

нет максимальных подгрупп
таких, что
не
-нильпотентна. Получается, что
--- минимальная не
-нильпотентная группа с минимальной нормальной подгруппой
, т.е.
--- группа Миллера-Морено.