Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 12 из 21)

Пусть теперь

--- группа типа 3), т.е. , --- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в , не являющаяся силовской в , а силовская -подгруппа из является циклической и . Если -субнормальна в , то -нильпотентна по теореме и, кроме того, дополнение к в тоже -нильпотентно. А это противоречит тому, что не -нильпотентна. Поэтому в дальнейшем мы будем иметь в виду, что не -субнормальна в .

Если

не максимальна в , то по условию, , где -субнормальна в . Так как , то получается, что -субнормальна в , что невозможно. Итак, максимальна в . Пусть --- дополнение к в , а --- дополнение к в силовской -подгруппе из . Тогда , . Подгруппа не максимальна в , но максимальна в , т.е. . Поэтому, по условию, существует -субнормальная подгруппа такая, что . Значит, содержится в максимальной подгруппе группы , содержащей . Равенство показывает теперь, что не содержится в . Подгруппа максимальна в , поскольку ее индекс равен . Так как ---собственная -субнормальная подгруппа в , то не равна , но содержит . Значит, . Но --- собственная -субнормальная подгруппа в , поэтому . Получается, что --- собственная подгруппа из . Ясно, что содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Для лемма верна по индукции, поэтому либо -нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Если -нильпотентна, то из выводим, что и поэтому , что невозможно. Таким образом, --- группа Миллера-Морено, у которой --- силовская -подгруппа. Но тогда ввиду того, что и , мы получаем . Снова получили противоречие. Лемма доказана.

Пусть

--- -группа, не принадлежащая непустой -замкнутой -нильпотентной формации такой, что содержит и не совпадает с множеством всех простых чисел. Скажем, что является: