Смекни!
smekni.com

Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 15 из 21)

Пусть

--- группа простого порядка
. Тогда
имеет порядок
, и можно подобрать
так, что в ней найдется подгруппа
порядка
, где
и
--- различные простые числа. Рассмотрим группу
. Подгруппа
будет максимальной самонормализуемой подгруппой, а подгруппы
и
--- максимальными подгруппами Миллера-Морено. Пусть
--- такая
-замкнутая насыщенная
-нильпотентная формация, что
. Тогда группа
--- группа типа
.

Пусть

--- непустая
-замкнутая насыщенная
-нильпотентная формация,
--- не
-нильпотентная
-группа, у которой множество всех
-субнормальных подгрупп плотно. Тогда
является группой одного из типов
для некоторого
.

Доказательство. Пусть

не
-нильпотентна. Тогда, по лемме 4.1.1,
разрешима.

1. Допустим, что

обладает не
-нильпотентной
-абнормальной максимальной подгруппой
. По лемме,
--- бипримарная группа Миллера-Морено, а значит,
. Заметим еще, что
, где
--- минимальная нормальная подгруппа в
.

1.1. Рассмотрим вначале случай

. Тогда
есть степень либо простого
, либо
. Пусть
. Пусть
---силовская
-подгруппа из
, содержащая
. Если
не максимальна в
, то
, где
--- некоторая
-субнормальная в
подгруппа. Тогда
-субнормальна в
, а значит, и в
(напомним, что из
следует, что
). Но тогда, по теореме,
, противоречие. Значит,
и
. Пусть
--- максимальная подгруппа из
, содержащая
. Так как
-абнормальна, то, по лемме,
либо
-нильпотентна, либо является группой Миллера-Морено. Но
--- минимальная нормальная подгруппа в
, поэтому ясно, что
не может быть
-замкнутой группой. Таким образом,
-нильпотентна. Если
, то из
и из условия вытекает, что существует
-субнормальная в
подгруппа
такая, что
. Так как
, то
, что противоречит равенству
. Итак, мы должны рассмотреть только случай
. Подгруппа
является циклической и максимальна в
. Поэтому очевидно, что максимальная подгруппа
из
нормальна в
. Пусть
---минимальная нормальная подгруппа в
. Так как
--- минимальная нормальная подгруппа в
, то
---
-группа, не входящая в
, а значит,
. Так как
максимальна и не нормальна в
, то
. Ясно теперь, что
, а значит,
нормальна в
. Таким образом, получается, что
, что противоречит равенству
. Итак, теперь надо рассмотреть случай
, т.е.
--- силовская
-подгруппа в
, а
--- минимальная нормальная подгруппа в
. Допустим, что силовская
-подгруппа
из
не равна 1. Так как
, то
. Тогда
-нильпотентна, а значит, силовская
-подгруппа из
содержится в
. Но это противоречит равенству
. Итак,
. По теореме Бернсайда,
-нильпотентна и, значит,
--- силовская
-подгруппа в
. Максимальная подгруппа
из
не максимальна в
, поэтому
для некоторой
-субнормальной в
подгруппы
. Так как
--- абелева
-группа, то
. Значит,
оказывается
-субнормальной в
. По теореме,
. Мы получаем, что
--- группа типа
.