Смекни!
smekni.com

Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 17 из 21)

2. Теперь будем полагать, что каждая

-абнормальная максимальная подгруппа группы
-нильпотентна. Тогда
--- группа одного из типов 1)-3) леммы Если
--- группа типа 1), то доказывать нечего. Пусть
--- группа типа 3), т.е.
,
, где
,
,
,
циклическая, а
--- минимальная нормальная подгруппа в
. Заметим, что
-сверхразрешима. Пусть
--- максимальная подгруппа группы
. Если
содержит
и не содержит
, то
. Если
содержит
и
, то
. А если
содержит
, то
и
. Таким образом,
имеет точно три класса сопряженных максимальных подгрупп, представителями которых являются
,
и
. Значит, в этом случае группа
--- группа типа
. Пусть
и
--- минимальная нормальная подгруппа в
. Рассмотрение этого случая разобьем на две части:
и
.

2.1. Пусть вначале

. Пусть
. Очевидно,
. Предположим, что
имеет максимальную подгруппу
, являющуюся
-субнормальной в
. По теореме ,
. Очевидно,
. Ясно, что любая максимальная подгруппа из
, отличная от
, не является
-субнормальной в
. Если
циклическая, то
--- группа типа
. Поэтому считаем, что
нециклическая. Пусть
--- максимальная подгруппа из
, отличная от
. Рассмотрим подгруппу
, являющуюся
-субнормальной в
. Так как
не
-субнормальна, то
. Пусть
---
-абнормальная максимальная подгруппа из
. Так как
, то
--- степень
, т.е.
содержится в подгруппе, сопряженной с
в
. Будем считать, что
. Силовская
-подгруппа
из
нормальна в
и в
, т.е.
нормальна в
. Но
---минимальная нормальная подгруппа. Поэтому
---
-группа, т.е.
максимальна в
. По лемме , каждая собственная подгруппа из
будет
-субнормальной в
(мы применяем утверждение 2) леммы для случая
). Теперь, по лемме ,
является минимальной не
-группой, откуда следует, что
--- группа Миллера-Морено, т.е.
--- группа типа
. Предположим теперь. что любая максимальная подгруппа из
не является
-субнормальной в
. Пусть
--- максимальная подгруппа из
, причем
. Подгруппа
не принадлежит
, иначе
была бы
-субнормальной. Если
максимальна в
, то
--- группа Миллера-Морено. Если
не максимальна в
, то
строго содержится в некоторой
-абнормальной максимальной подгруппе
из
. Подгруппа
не
-нильпотентна, так как в противном случае
, что противоречит тому, что
не
-субнормальна. Итак,
, в
существует не
-нильпотентная
-абнормальная максимальная подгруппа,
. Но этот случай уже рассмотрен, т.е.
--- группа типа
. Таким образом, максимальная подгруппа
из
нормальна в
. Рассмотрим группу
, ее порядок равен
. Понятно, что если
и
--- две различные подгруппы из
, то
, и значит,
, так как каждая максимальная подгруппа из
не нормальна в
. Следовательно,
--- группа Фробениуса с циклической подгруппой
порядка
. Так как
, то получается, что
циклическая. Так как
--- единственная максимальная подгруппа, содержащая
, то
. Итак,
--- группа типа
.