Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 19 из 21)

2.2.1. Пусть

максимальна в . Тогда, как отмечалось, нильпотентна, а ненильпотентна. Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Тогда не максимальна в и, по условию, содержится в некоторой -субнормальной -подгруппе, которая, по теореме , будет поэлементно перестановочна с . Отсюда следует, что --- группа Миллера-Морено. Если нормальна в , то . Пусть --- максимальная подгруппа из , содержащая . Каждая собственная подгруппа из , как отмечалось, поэлементно перестановочна с . Значит, каждая собственная подгруппа из будет -нильпотентна. Но . Поэтому не может быть группой Шмидта. Значит, -нильпотентна и . Значит, . Получается, что каждая максимальная подгруппа из нормальна в , т.е. нильпотентна. Итак, если нормальна в , то --- группа типа .

Пусть теперь

не нормальна в . По теореме Бернсайда, -нильпотентна, т.е. . Учитывая, что нильпотентна, получаем, что нормальна в , т.е. оказывается группой типа .

2.2.2. Пусть теперь подгруппы

и являются максимальными в . Тогда одна из них нормальна в . Пусть . Тогда . В этом случае , и --- максимальные подгруппы в . Если одна , нильпотентна, то --- группа типа . Предположим, что и не нильпотентны. Поскольку каждая собственная подгруппа из поэлементно перестановочна с , а подгруппа ненильпотентна, то является циклической. Но тогда , так как максимальна в сверхразрешимой подгруппе . Рассмотрим подгруппу . Так как , то . Если максимальна в , то --- группа Миллера-Морено. Пусть не максимальна в . Так как и , то -корадикал подгруппы является неединичной -группой. Ясно, что содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из , причем , так как самонормализуема в . Мы видим, что --- группа типа .