Смекни!
smekni.com

Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 19 из 21)

2.2.1. Пусть

максимальна в
. Тогда, как отмечалось,
нильпотентна, а
ненильпотентна. Пусть
--- произвольная максимальная подгруппа из
. Тогда
не максимальна в
и, по условию, содержится в некоторой
-субнормальной
-подгруппе, которая, по теореме , будет поэлементно перестановочна с
. Отсюда следует, что
--- группа Миллера-Морено. Если
нормальна в
, то
. Пусть
--- максимальная подгруппа из
, содержащая
. Каждая собственная подгруппа из
, как отмечалось, поэлементно перестановочна с
. Значит, каждая собственная подгруппа из
будет
-нильпотентна. Но
. Поэтому
не может быть группой Шмидта. Значит,
-нильпотентна и
. Значит,
. Получается, что каждая максимальная подгруппа из
нормальна в
, т.е.
нильпотентна. Итак, если
нормальна в
, то
--- группа типа
.

Пусть теперь

не нормальна в
. По теореме Бернсайда,
-нильпотентна, т.е.
. Учитывая, что
нильпотентна, получаем, что
нормальна в
, т.е.
оказывается группой типа
.

2.2.2. Пусть теперь подгруппы

и
являются максимальными в
. Тогда одна из них нормальна в
. Пусть
. Тогда
. В этом случае
,
и
--- максимальные подгруппы в
. Если одна
,
нильпотентна, то
--- группа типа
. Предположим, что
и
не нильпотентны. Поскольку каждая собственная подгруппа из
поэлементно перестановочна с
, а подгруппа
ненильпотентна, то
является циклической. Но тогда
, так как
максимальна в сверхразрешимой подгруппе
. Рассмотрим подгруппу
. Так как
, то
. Если
максимальна в
, то
--- группа Миллера-Морено. Пусть
не максимальна в
. Так как
и
, то
-корадикал подгруппы
является неединичной
-группой. Ясно, что
содержится в некоторой
-абнормальной максимальной подгруппе
из
, причем
, так как
самонормализуема в
. Мы видим, что
--- группа типа
.