Если
и --- подгруппы группы , то: --- прямое произведение подгрупп и ; --- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы .Группа
называется:примарной, если
;бипримарной, если
.Скобки
применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп. --- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .Группу
называют --нильпотентной, если .Группу
порядка называют --дисперсивной, если выполняется и для любого имеет нормальную подгруппу порядка . Если при этом упорядочение таково, что всегда влечет , то --дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь
называется -цепью (с индексами ); если при этом является максимальной подгруппой в для любого , то указанная цепь называется максимальной -цепью.Ряд подгрупп
называется:субнормальным, если
для любого ;нормальным, если
для любого .Нормальный ряд называется главным, если
является минимальной нормальной подгруппой в для всех .Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
--- класс всех групп; --- класс всех абелевых групп; --- класс всех нильпотентных групп; --- класс всех разрешимых групп; --- класс всех --групп; --- класс всех сверхразрешимых групп.Пусть
--- некоторый класс групп и --- группа, тогда: --- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если --- формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если --- формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .Формация
называется насыщенной, если всегда из следует, что и . Класс групп называется наследственным или -замкнутым, если из того, что , следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .Пусть
--- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется: -нормальной, если ; -абнормальной, если .Максимальная
-цепь называется -субнормальной, если для любого подгруппа -нормальна в . Подгруппа группы называется -субнормальной, если существует хотя бы одна -субнормальная максимальная -цепь.