Смекни!
smekni.com

Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 2 из 21)

--- центр группы
;

--- циклическая группа порядка
;

Если

и
--- подгруппы группы
, то:

--- прямое произведение подгрупп
и
;

--- полупрямое произведение нормальной подгруппы
и подгруппы
.

Группа

называется:

примарной, если

;

бипримарной, если

.

Скобки

применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

--- подгруппа, порожденная всеми
, для которых выполняется
.

Группу

называют
--нильпотентной, если
.

Группу

порядка
называют
--дисперсивной, если выполняется
и для любого
имеет нормальную подгруппу порядка
. Если при этом упорядочение
таково, что
всегда влечет
, то
--дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.

Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь

называется
-цепью (с индексами
); если при этом
является максимальной подгруппой в
для любого
, то указанная цепь называется максимальной
-цепью.

Ряд подгрупп

называется:

субнормальным, если

для любого
;

нормальным, если

для любого
.

Нормальный ряд называется главным, если

является минимальной нормальной подгруппой в
для всех
.

Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

--- класс всех групп;

--- класс всех абелевых групп;

--- класс всех нильпотентных групп;

--- класс всех разрешимых групп;

--- класс всех
--групп;

--- класс всех сверхразрешимых групп.

Пусть

--- некоторый класс групп и
--- группа, тогда:

---
--корадикал группы
, т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп
из
, для которых
. Если
--- формация, то
является наименьшей нормальной подгруппой группы
, факторгруппа по которой принадлежит
. Если
--- формация всех сверхразрешимых групп, то
называется сверхразрешимым корадикалом группы
.

Формация

называется насыщенной, если всегда из
следует, что и
. Класс групп
называется наследственным или
-замкнутым, если из того, что
, следует, что и каждая подгруппа группы
также принадлежит
.

Пусть

--- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа
группы
называется:

-нормальной, если
;

-абнормальной, если
.

Максимальная

-цепь
называется
-субнормальной, если для любого
подгруппа
-нормальна в
. Подгруппа
группы
называется
-субнормальной, если существует хотя бы одна
-субнормальная максимальная
-цепь.