Смекни!
smekni.com

Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 20 из 21)

Возможны два случая:

нормальна в
и
ненормальна в
.

Пусть

не нормальна в
. Если
, то
--- группа Фробениуса с нильпотентной нормальной подгруппой
, что противоречит нашему допущению. Пусть
, где
,
. Так как
элементарная абелева, то существует такая
-подгруппа
, что
. Мы видим, что
--- группа типа
, а сама
--- группа типа
.

Предположим теперь, что

нормальна в
, т.е.
нильпотентна и имеет порядок
. Очевидно, что в этом случае
является группой Фробениуса с ядром
, а
--- группа типа
, либо группа Миллера-Морено. Рассмотрим
. Если
максимальна в
, то
--- группа Миллера-Морено. Пусть
не максимальна в
. Так как
, то
содержится в некоторой
-абнормальной максимальной подгруппе
из
, причем
, так как
самонормализуема в
. Получается, что
--- группа типа
. В этом случае
оказывается группой типа
. Теорема доказана.

Таким образом, теоремы дают описание не

-нильпотентных групп, у которых множество всех
-субнормальных подгрупп плотно, где
--- некоторая
-замкнутая насыщенная формация
-нильпотентных групп.

В случае, когда

--- формация всех
-нильпотентных групп, из теоремы вытекает результат Л.Н.Закревской.

Теорема остается новой в случае, когда

--- формация всех нильпотентных
-групп. В частности, при
мы получаем результат В.В.Пылаева.

Заметим, что в работе при описании групп с плотной системой

-субнормальных подгрупп, где
--- формация всех
-нильпотентных групп, Л.Н.Закревской была допущенна ошибка. Так в ситуации, когда силовская
-подгруппа
группы
, где
--- силовская подгруппа максимальной подгруппы
группы
,
, является элементарной абелевой группой, утверждается, что
, что в общем случае не верно.

Заключение

В данной работе рассмотрены конечные группы с плотной системой

-субнормальных подгрупп в случаях, когда
--- либо произвольная
-замкнутая формация
-нильпотентных групп, либо произвольная
-замкнутая формация
-дисперсивных групп, либо произвольная
-замкнутая формация сверхразрешимых групп. Основной вывод, который вытекает из теорем состоит в том, что за исключением нескольких вполне обозримых случаев в любой группе
, не принадлежащей
, существуют не
-субнормальные подгруппы
и
такие, что
,
не максимальна в
, и из
всегда следует, что
не
-субнормальна в
.

Литература

1.Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. --- 1948. --- Т. 60,№ 8. --- C. 1313--1315.

2.Закревская Л.Н. Конечные группы с плотной системой

-субнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. --- Минск:Наука и техника, 1984. --- 71--88.

3.Закревская Л.Н. Конечные группы с

-плотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. --- Мн.:Наука и техника, 1986. --- 59--69.