Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 20 из 21)
Возможны два случая:
нормальна в 
и ненормальна в .Пусть
не нормальна в . Если 
, то 
--- группа Фробениуса с нильпотентной нормальной подгруппой 
, что противоречит нашему допущению. Пусть 
, где 
, 
. Так как 
элементарная абелева, то существует такая 
-подгруппа 
, что 
. Мы видим, что 
--- группа типа 
, а сама --- группа типа 
.Предположим теперь, что
нормальна в , т.е. 
нильпотентна и имеет порядок 
. Очевидно, что в этом случае является группой Фробениуса с ядром , а --- группа типа 
, либо группа Миллера-Морено. Рассмотрим . Если максимальна в , то --- группа Миллера-Морено. Пусть не максимальна в . Так как 
, то содержится в некоторой 
-абнормальной максимальной подгруппе 
из , причем 
, так как самонормализуема в . Получается, что --- группа типа . В этом случае оказывается группой типа 
. Теорема доказана.Таким образом, теоремы дают описание не
-нильпотентных групп, у которых множество всех -субнормальных подгрупп плотно, где --- некоторая 
-замкнутая насыщенная формация -нильпотентных групп.В случае, когда
--- формация всех -нильпотентных групп, из теоремы вытекает результат Л.Н.Закревской.Теорема остается новой в случае, когда
--- формация всех нильпотентных 
-групп. В частности, при 
мы получаем результат В.В.Пылаева.Заметим, что в работе при описании групп с плотной системой
-субнормальных подгрупп, где --- формация всех -нильпотентных групп, Л.Н.Закревской была допущенна ошибка. Так в ситуации, когда силовская -подгруппа 
группы , где 
--- силовская подгруппа максимальной подгруппы группы , 
, является элементарной абелевой группой, утверждается, что 
, что в общем случае не верно.В данной работе рассмотрены конечные группы с плотной системой
-субнормальных подгрупп в случаях, когда --- либо произвольная -замкнутая формация -нильпотентных групп, либо произвольная -замкнутая формация 
-дисперсивных групп, либо произвольная -замкнутая формация сверхразрешимых групп. Основной вывод, который вытекает из теорем состоит в том, что за исключением нескольких вполне обозримых случаев в любой группе , не принадлежащей , существуют не -субнормальные подгруппы 
и 
такие, что 
, не максимальна в , и из 
всегда следует, что 
не -субнормальна в .1.Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. --- 1948. --- Т. 60,№ 8. --- C. 1313--1315.
2.Закревская Л.Н. Конечные группы с плотной системой
-субнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. --- Минск:Наука и техника, 1984. --- 71--88.3.Закревская Л.Н. Конечные группы с
-плотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. --- Мн.:Наука и техника, 1986. --- 59--69.