Возможны два случая:
нормальна в и ненормальна в .Пусть
не нормальна в . Если , то --- группа Фробениуса с нильпотентной нормальной подгруппой , что противоречит нашему допущению. Пусть , где , . Так как элементарная абелева, то существует такая -подгруппа , что . Мы видим, что --- группа типа , а сама --- группа типа .Предположим теперь, что
нормальна в , т.е. нильпотентна и имеет порядок . Очевидно, что в этом случае является группой Фробениуса с ядром , а --- группа типа , либо группа Миллера-Морено. Рассмотрим . Если максимальна в , то --- группа Миллера-Морено. Пусть не максимальна в . Так как , то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе из , причем , так как самонормализуема в . Получается, что --- группа типа . В этом случае оказывается группой типа . Теорема доказана.Таким образом, теоремы дают описание не
-нильпотентных групп, у которых множество всех -субнормальных подгрупп плотно, где --- некоторая -замкнутая насыщенная формация -нильпотентных групп.В случае, когда
--- формация всех -нильпотентных групп, из теоремы вытекает результат Л.Н.Закревской.Теорема остается новой в случае, когда
--- формация всех нильпотентных -групп. В частности, при мы получаем результат В.В.Пылаева.Заметим, что в работе при описании групп с плотной системой
-субнормальных подгрупп, где --- формация всех -нильпотентных групп, Л.Н.Закревской была допущенна ошибка. Так в ситуации, когда силовская -подгруппа группы , где --- силовская подгруппа максимальной подгруппы группы , , является элементарной абелевой группой, утверждается, что , что в общем случае не верно.В данной работе рассмотрены конечные группы с плотной системой
-субнормальных подгрупп в случаях, когда --- либо произвольная -замкнутая формация -нильпотентных групп, либо произвольная -замкнутая формация -дисперсивных групп, либо произвольная -замкнутая формация сверхразрешимых групп. Основной вывод, который вытекает из теорем состоит в том, что за исключением нескольких вполне обозримых случаев в любой группе , не принадлежащей , существуют не -субнормальные подгруппы и такие, что , не максимальна в , и из всегда следует, что не -субнормальна в .1.Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. --- 1948. --- Т. 60,№ 8. --- C. 1313--1315.
2.Закревская Л.Н. Конечные группы с плотной системой
-субнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. --- Минск:Наука и техника, 1984. --- 71--88.3.Закревская Л.Н. Конечные группы с
-плотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. --- Мн.:Наука и техника, 1986. --- 59--69.