Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 4 из 21)

Доказательство. Пусть

--- группа наименьшего порядка, для которой лемма не верна. Так как неразрешима, то она имеет подгруппу порядка , где --- простое число. По условию, имеет -субнормальную подгруппу такую, что делит . Поэтому в существует максимальная подгруппа, содержащая . Таким образом, .

По лемме, множество всех

-субнормальных подгрупп плотно в любой факторгруппе группы . Поэтому лемма верна для любой нетривиальной факторгруппы группы . Так как класс всех разрешимых групп и класс всех -нильпотентных групп --- насыщенные формации, то мы получаем, что . Очевидно, имеет минимальную нормальную подгруппу , содержащуюся в .

1. Рассмотрим случай

. Допустим, что неразрешима. Тогда содержит подгруппу порядка , где . Так как 1 не максимальна в , то в существует -субнормальная подгруппа такая, что . По лемме, есть -число. Мы получаем, что и , т.е. оказывается -нильпотентной -группой. Противоречие. Следовательно, разрешима.

Ввиду леммы , лемма верна для

. Значит, либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой. Так как , то мы видим, что лемма верна и для .

2. Теперь рассмотрим случай

. Из леммы и индуктивного предположения вытекает, что лемма верна для любой собственной подгруппы группы . Следовательно, каждая собственная подгруппа группы либо разрешима, либо является -нильпотентной -группой.

2.1. Предположим, что

содержит разрешимую -нормальную максимальную подгруппу. Тогда разрешима, а --- неразрешимая -нильпотентная -группа. Из следует, что является -группой для некоторого простого .

Предположим, что

и . Так как неразрешима, то имеет подгруппу порядка , где . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Так как --- -группа, а по лемме, индекс является -числом, то мы получаем, что --- -нильпотентная -группа. Противоречие.

Случай

и невозможен, так как --- неразрешимая -нильпотентная -группа. Поэтому остается рассмотреть случай . Но тогда является -разрешимой -группой. Так как неразрешима, то в холловой -подгруппе из найдется нециклическая силовская подгруппа . Пусть --- произвольная максимальная подгруппа из . Тогда не максимальна в . По условию, в существует -субнормальная подгруппа такая, что . Обозначим через формацию всех -нильпотентных групп. По лемме, -субнормальна в . Теперь по теореме, мы имеем . Следовательно, , а значит, централизует . Получается, что любая нециклическая силовская подгруппа из централизует . Так как не принадлежит , то не централизует . Итак, в имеется циклическая силовская подгруппа , которая не централизует . Ввиду теоремы, не максимальна в . Теперь, применяя к те же рассуждения, что и для , получаем, что централизует . Пришли к противоречию.