Смекни!
smekni.com

Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 4 из 21)

Доказательство. Пусть

--- группа наименьшего порядка, для которой лемма не верна. Так как
неразрешима, то она имеет подгруппу
порядка
, где
--- простое число. По условию,
имеет
-субнормальную подгруппу
такую, что
делит
. Поэтому в
существует максимальная подгруппа, содержащая
. Таким образом,
.

По лемме, множество всех

-субнормальных подгрупп плотно в любой факторгруппе группы
. Поэтому лемма верна для любой нетривиальной факторгруппы группы
. Так как класс всех разрешимых групп и класс всех
-нильпотентных групп --- насыщенные формации, то мы получаем, что
. Очевидно,
имеет минимальную нормальную подгруппу
, содержащуюся в
.

1. Рассмотрим случай

. Допустим, что
неразрешима. Тогда
содержит подгруппу
порядка
, где
. Так как 1 не максимальна в
, то в
существует
-субнормальная подгруппа
такая, что
. По лемме,
есть
-число. Мы получаем, что
и
, т.е.
оказывается
-нильпотентной
-группой. Противоречие. Следовательно,
разрешима.

Ввиду леммы , лемма верна для

. Значит,
либо разрешима, либо является
-нильпотентной
-группой. Так как
, то мы видим, что лемма верна и для
.

2. Теперь рассмотрим случай

. Из леммы и индуктивного предположения вытекает, что лемма верна для любой собственной подгруппы группы
. Следовательно, каждая собственная подгруппа группы
либо разрешима, либо является
-нильпотентной
-группой.

2.1. Предположим, что

содержит разрешимую
-нормальную максимальную подгруппу. Тогда
разрешима, а
--- неразрешимая
-нильпотентная
-группа. Из
следует, что
является
-группой для некоторого простого
.

Предположим, что

и
. Так как
неразрешима, то
имеет подгруппу
порядка
, где
. По условию, в
существует
-субнормальная подгруппа
такая, что
. Так как
---
-группа, а по лемме, индекс
является
-числом, то мы получаем, что
---
-нильпотентная
-группа. Противоречие.

Случай

и
невозможен, так как
--- неразрешимая
-нильпотентная
-группа. Поэтому остается рассмотреть случай
. Но тогда
является
-разрешимой
-группой. Так как
неразрешима, то в холловой
-подгруппе
из
найдется нециклическая силовская подгруппа
. Пусть
--- произвольная максимальная подгруппа из
. Тогда
не максимальна в
. По условию, в
существует
-субнормальная подгруппа
такая, что
. Обозначим через
формацию всех
-нильпотентных групп. По лемме,
-субнормальна в
. Теперь по теореме, мы имеем
. Следовательно,
, а значит,
централизует
. Получается, что любая нециклическая силовская подгруппа из
централизует
. Так как
не принадлежит
, то
не централизует
. Итак, в
имеется циклическая силовская подгруппа
, которая не централизует
. Ввиду теоремы,
не максимальна в
. Теперь, применяя к
те же рассуждения, что и для
, получаем, что
централизует
. Пришли к противоречию.