Смекни!
smekni.com

Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 5 из 21)

2.2. Итак, пусть теперь каждая

-нормальная максимальная подгруппа группы
является
-нильпотентной
-группой. Тогда
оказывается
-группой, а ее
-корадикал
-нильпотентен. Так как группы Шмидта разрешимы, то отсюда следует, что
имеет
-абнормальную максимальную подгруппу
, которая не является
-нильпотентной. По предположению,
разрешима. По лемме, каждая
-абнормальная максимальная подгруппа из
принадлежит
. По теореме,
является
-группой для некоторого простого числа
. Если
, то
-нильпотентна, противоречие. Таким образом,
, т.е.
есть
-группа. Выберем в
подгруппу
, удовлетворяющую следующим условиям: 1)
--- степень простого числа; 2)
не является
-группой; 3)
не максимальна в
. По условию, в
найдется
-субнормальная подгруппа
такая, что
. По теореме ,
, а потому мы имеем
. Так как
не
-нильпотентна, то мы получаем, что
не является
-группой. Мы видим, что в
существует силовская
-подгруппа
такая, что
максимальна в
,
и
. Если
нециклическая, то она имеет две различные максимальные подгруппы
и
, которые, как мы доказали, централизуют
. Отсюда следует, что и
централизует
, что невозможно. Следовательно,
--- циклическая максимальная подгруппа в
. Группа
у нас
-разрешима. Будем считать, что
содержится в холловой
-подгруппе
группы
. Если
максимальна в
, то учитывая, что
циклическая, мы получаем, что, по теореме , подгруппа
разрешима. Но тогда и
разрешима. Получаем противоречие. Таким образом,
не максимальна в
. По условию, в
найдется такая
-субнормальная подгруппа
, что
. Так как
, мы получаем, что
-субнормальна в
. По теореме ,
. Снова получили противоречие. Лемма доказана.