Смекни!
smekni.com

Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 6 из 21)

Пусть

--- некоторая
-замкнутая насыщенная
-нильпотентная формация,
--- группа c плотной системой
-субнормальных подгрупп. Предположим, что
,
---
-группа,
не
-нильпотентна, а все ее
-абнормальные максимальные подгруппы
-нильпотентны. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:

1)

--- группа Шмидта и
;

2)

, силовская
-подгруппа
из
совпадает с
и является ее минимальной нормальной подгруппой;

3)

,
--- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в
, имеющая индекс
в
, а подгруппа
является циклической, причем
.

Доказательство. По лемме,

разрешима. Пусть
--- некоторая
-абнормальная максимальная подгруппа из
. Тогда, по условию, некоторая холлова
-подгруппа
входит в
и нормализует ее силовскую
-подгруппу
. Так как
---
-группа, то
. А так как
и
-нильпотентна, то из
вытекает, что
. Рассмотрим два случая:
и
.

1.

. По лемме,
либо максимальна в
, либо
-субнормальна в
. Пусть вначале
-субнормальна в
. Тогда, по теореме,
. Так как
, то получается, что
--- силовская
-подгруппа из
, нормализующая
. Это противоречит тому, что
не
-нильпотентна. Пусть теперь
максимальна в
. Тогда
. Значит,
либо совпадает с силовской
-подгруппой
, либо
.

1.1.

. Допустим, что в
имеется ненильпотентная
-нормальная максимальная подгруппа
. Будем считать, что ее холлова
-подгруппа
содержится в
. Так как
не максимальна в
и
, то, по лемме,
-субнормальна в
, а значит, и в
. Теперь по теореме,
, а значит,
нильпотентна. Итак,
--- группа Шмидта. Но тогда
нормальна в
, а значит, ввиду теоремы,
не может быть абелевой. Таким образом,
. Так как
, то
. Итак,
--- группа типа 1).