Пусть
--- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- группа c плотной системой -субнормальных подгрупп. Предположим, что , --- -группа, не -нильпотентна, а все ее -абнормальные максимальные подгруппы -нильпотентны. Тогда справедливо одно из следующих утверждений:1)
--- группа Шмидта и ;2)
, силовская -подгруппа из совпадает с и является ее минимальной нормальной подгруппой;3)
, --- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в , имеющая индекс в , а подгруппа является циклической, причем .Доказательство. По лемме,
разрешима. Пусть --- некоторая -абнормальная максимальная подгруппа из . Тогда, по условию, некоторая холлова -подгруппа входит в и нормализует ее силовскую -подгруппу . Так как --- -группа, то . А так как и -нильпотентна, то из вытекает, что . Рассмотрим два случая: и .1.
. По лемме, либо максимальна в , либо -субнормальна в . Пусть вначале -субнормальна в . Тогда, по теореме, . Так как , то получается, что --- силовская -подгруппа из , нормализующая . Это противоречит тому, что не -нильпотентна. Пусть теперь максимальна в . Тогда . Значит, либо совпадает с силовской -подгруппой , либо .1.1.
. Допустим, что в имеется ненильпотентная -нормальная максимальная подгруппа . Будем считать, что ее холлова -подгруппа содержится в . Так как не максимальна в и , то, по лемме, -субнормальна в , а значит, и в . Теперь по теореме, , а значит, нильпотентна. Итак, --- группа Шмидта. Но тогда нормальна в , а значит, ввиду теоремы, не может быть абелевой. Таким образом, . Так как , то . Итак, --- группа типа 1).