Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 8 из 21)

Пусть

--- некоторая -замкнутая насыщенная -нильпотентная формация, --- группа c плотной системой -субнормальных подгрупп, и каждая -абнормальная максимальная подгруппа из -нильпотентна. Тогда либо является -нильпотентной -группой, либо группой одного из типов:

1)

--- группа Шмидта и ;

2)

, силовская -подгруппа является минимальной нормальной подгруппой в ;

3)

, , где --- минимальная нормальная подгруппа в , , циклическая, .

Доказательство. Пусть

не является -нильпотентной -группой. По лемме, разрешима. Пусть --- формация всех -нильпотентных групп. Так как , то каждая -абнормальная максимальная подгруппа является -абнормальной, а значит, ввиду условия, и -нильпотентной. По тереме , --- -группа, и теперь мы применяем лемму в случае . Лемма доказана.

Пусть

--- некоторая

-замкнутая насыщенная

-нильпотентная формация,

--- не

-нильпотентная группа c плотной системой

-субнормальных подгрупп и

. Тогда любая

-абнормальная максимальная подгруппа из

либо

-нильпотентна, либо является бипримарной группой Миллера--Морено.

Доказательство. По лемме,

разрешима. Пусть --- не -нильпотентная -абнормальная максимальная подгруппа группы . По лемме, множество всех -субнормальных подгрупп в плотно. По лемме, каждая -абнормальная максимальная подгруппа из принадлежит . По теореме, --- -группа. Значит, --- группа типа 1), 2) или 3) леммы. В дальнейшем обозначает формацию всех -нильпотентных групп. Пусть --- группа типа 1), т.е. --- группа Шмидта с нормальной силовской -подгруппой и . Тогда не максимальна в . По условию, в имеется -субнормальная подгруппа такая, что . Кроме того, . Получается, что -субнормальна в , а значит, и в . По теореме, , что невозможно. Итак, либо типа 2), либо типа 3) из леммы.

1.

, . Тогда холлова -подгруппа группы строго содержит некоторую .