Смекни!
smekni.com

Описание конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп для формации F p-нильпотентных (стр. 9 из 21)

Предположим, что

--- типа 2). Пусть
--- произвольная собственная подгруппа из
. Так как
не максимальна в
, то существует
-субнормальная в
подгруппа
такая, что
. Подгруппа
будет
-субнормальна в
. Поэтому и
будет
-субнормальна в
. По теореме,
, т.е.
. Таким образом, каждая собственная подгруппа из
-нильпотентна, а значит,
--- группа Шмидта, в которой
--- минимальная нормальная подгруппа. Значит, в этом случае лемма верна.

Итак,

---группа типа 3), т.е.
,
--- дополняемая минимальная нормальная подгруппа в
, силовская
-подгруппа
из
циклическая и
. Если
-субнормальна в
, то, по теореме,
нильпотентна и, значит,
, что невозможно. Значит,
не
-субнормальна в
. Если
не максимальна в
, то, по условию, в
найдется
-субнормальная подгруппа
такая, что
. Получается, что
--- нормальная подгруппа
-субнормальной разрешимой
-подгруппы
, а потому
будет
-субнормальной в
. Итак,
максимальна в
, а значит,
. Пусть
--- силовская
-подгруппа из
, являющейся дополнением к
в
, очевидно,
. Так как
не максимальна в
, то
для некоторой
-субнормальной подгруппы
из
. Тогда
. Так как
, то мы видим, что
не содержится в
. Ввиду леммы ,
-абнормальные максимальные подгруппы
-абнормальных максимальных подгрупп из
принадлежат
, поэтому, по теореме, имеем
. Получается, что
. Вспоминая, что
--- минимальная нормальная подгруппа в
, мы получаем, что содержащаяся в
минимальная нормальная подгруппа группы
совпадает с
, либо с
. Случай
не возможен, так как
и
не
-нильпотентна. Значит,
. Рассмотрим
-нильпотентную подгруппу
. По условию,
содержится в некоторой подгруппе из
, которая
-субнормальна в
. Так как
, то
будет
-абнормальна в
, а значит, и в
. Тогда, по теореме ,
-нильпотентна, что противоречит тому, что
не
-нильпотентна. Случай 1 полностью рассмотрен.