Смекни!
smekni.com

Общие свойства конечных групп с условием плотности для F субнормальных подгрупп (стр. 4 из 11)

Пусть

--- непустая
-замкнутая насыщенная формация,
--- подгруппа группы
. Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

;

2) если

-субнормальна в
и
является подформацией формации
, то
-субнормальна в
.

Доказательство. 1) Из того, что

следует, что

. Это значит, что
.

2) Так как

, то
и
. Отсюда следует, что каждая
-нормальная максимальная подгруппа является
-нормальной максимальной. Лемма доказана.

Пусть

--- непустая
-замкнутая насыщенная формация. Если множество всех
-субнормальных подгрупп плотно в группе
, то справедливы следующие утверждения:

1) если

, то в
множество всех
-субнормальных подгрупп плотно
;

2) если

--- подгруппа из
, то множество всех
-субнормальных подгрупп из
является плотным в
.

Доказательство. 1) Пусть

--- нормальная подгруппа группы
. В фактор-группе
рассмотрим две произвольные подгруппы
, из которых первая не максимальна во второй. Тогда
и
не максимальна в
. По условию, в
существует
-субнормальная подгруппа
такая, что
. Следовательно,
-субнормальна в
.

2) Пусть

--- подгруппа из
и
--- две произвольные подгруппы из
такие, что
не максимальна в
. Тогда, по условию, в
существует
-субнормальная подгруппа
, для которой
. Ввиду леммы,
-субнормальна в
. Лемма доказана.

Если

---
-субнормальная подгруппа группы
, то

.

Доказательство. По определению, существует цепь

такая, что

является
-нормальной максимальной подгруппой в
при любом
. Таким образом,
и потому

для каждого

. Следовательно,
.

Пусть

--- непустая
-замкнутая насыщенная формация,
--- группа, у которой множество всех ее
-субнормальных подгрупп плотно. Справедливы следующие утверждения:

1) если

---
-абнормальная максимальная подгруппа группы
, то либо
, либо каждая
-абнормальная максимальная подгруппа из
принадлежит
;

2) если

и
, то
либо максимальна в
, либо
-субнормальна в
.