Общие свойства конечных групп с условием плотности для F субнормальных подгрупп (стр. 4 из 11)
Пусть 
--- непустая 
-замкнутая насыщенная формация, 
--- подгруппа группы 
. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) 
;
2) если -субнормальна в и является подформацией формации , то -субнормальна в .
Доказательство. 1) Из того, что
следует, что
. Это значит, что .2) Так как
, то 
и 
. Отсюда следует, что каждая -нормальная максимальная подгруппа является -нормальной максимальной. Лемма доказана.Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная формация. Если множество всех -субнормальных подгрупп плотно в группе , то справедливы следующие утверждения:
1) если 
, то в 
множество всех -субнормальных подгрупп плотно;
2) если 
--- подгруппа из , то множество всех -субнормальных подгрупп из является плотным в .
Доказательство. 1) Пусть
--- нормальная подгруппа группы . В фактор-группе рассмотрим две произвольные подгруппы 
, из которых первая не максимальна во второй. Тогда 
и 
не максимальна в . По условию, в существует -субнормальная подгруппа 
такая, что 
. Следовательно, 
-субнормальна в .2) Пусть
--- подгруппа из и 
--- две произвольные подгруппы из такие, что не максимальна в . Тогда, по условию, в существует -субнормальная подгруппа , для которой 
. Ввиду леммы, -субнормальна в . Лемма доказана.Если --- -субнормальная подгруппа группы , то
.
Доказательство. По определению, существует цепь
такая, что
является -нормальной максимальной подгруппой в 
при любом 
. Таким образом, 
и потому 
для каждого
. Следовательно, 
.Пусть --- непустая -замкнутая насыщенная формация, --- группа, у которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно. Справедливы следующие утверждения:
1) если --- -абнормальная максимальная подгруппа группы , то либо 
, либо каждая -абнормальная максимальная подгруппа из принадлежит ;
2) если 
и , то либо максимальна в , либо -субнормальна в .