Доказательство. Докажем сначала 1). Пусть
--- -абнормальная максимальная подгруппа, не принадлежащая . Допустим, что обладает -абнормальной максимальной подгруппой , не принадлежащей . Тогда в имеется -абнормальная максимальная подгруппа . По условию, в найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Ясно, что . По лемме , .Так как
-субнормальна, то она содержится в -нормальной максимальной подгруппе, и поэтому . Значит, . Последнее противоречит следующему:Докажем 2). Пусть
и . Допустим, что не максимальна в . По условию, в найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Так как -замкнута, то . Поэтому -субнормальна в . Теперь ясно, что -субнормальна в . Лемма доказана.Пусть --- насыщенная -замкнутая формация, --- группа с нормальной силовской -подгруппой , удовлетворяющая следующим условиям:
1) ;
2) холлова -подгруппа -группы является максимальной в и принадлежит ;
3) любая собственная подгруппа из -субнормальна в .
Тогда является минимальной не -группой.
Доказательство. Из условия прямо следует, что
совпадает с и является минимальной нормальной подгруппой в . Понятно, что каждая -абнормальная максимальная подгруппа из сопряжена с и поэтому принадлежит . Пусть --- произвольная -нормальная максимальная подгруппа из . Тогда . Так как -замкнута, то . Подгруппа является собственной в и по условию -субнормальна в . По теореме , .Итак, каждая максимальная подгруппа из
принадлежит . Лемма доказана.2. Свойства максимальных подгрупп в группах с плотной системой -субнормальных подгрупп
В данном разделе изучаются свойства максимальных подгрупп конечных групп с плотной системой
-субнормальных подгрупп, где --- произвольная насыщенная -замкнутая формация.Пусть далее
--- некоторое фиксированное упорядочение множества всех простых чисел.Пусть --- произвольная насыщенная -замкнутая формация, --- -дисперсивная группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая , у которой все -абнормальные максимальные подгруппы принадлежат . Тогда справедливо одно из следующих утверждений:
1) --- максимальная подгруппа в ;