Общие свойства конечных групп с условием плотности для F субнормальных подгрупп (стр. 7 из 11)

.

Так как

, то

.

Отсюда следует, что

и . Очевидно, что . Подгруппа содержится в некоторой -нормальной максимальной подгруппе из .

1.1

Тогда

--- -максимальный простой делитель порядка группы и силовская -подгруппа группы нормальна в . Отсюда следует, что . Так как --- -группа, то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . По индукции либо принадлежит формации, либо является минимальной не -группой. Если --- минимальная не -группа, то и . Противоречие. Значит, . Пусть --- -главный фактор из . Но так как , то --- -главный фактор и выполняется изоморфизм . Так как , то --- -центральный -главный фактор. Противоречие.

1.2

,

Так как

, то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Тогда в существует -абнормальная максимальная подгруппа . Если не максимальна в , то, по лемме, -субнормальна в . Противоречие. Значит, максимальна в . По условию найдется -субнормальная в подгруппа такая, что

.

Так как

, то . Если , то и, следовательно, -субнормальна в . Значит, . Но тогда -субнормальна в . Противоречие.