Общие свойства конечных групп с условием плотности для F субнормальных подгрупп (стр. 8 из 11)
2.
и 
--- минимальная нормальная подгруппа в 
. Если каждая максимальная подгруппа из 
-субнормальна в , то --- минимальная не -группа. Значит, в найдется максимальная подгруппа 
, не -субнормальная в . Очевидно, что 
. Рассмотрим подгруппу 
. Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе 
из 
. Так как не максимальна в , то, по условию, в 
существует -субнормальная подгруппа 
такая, что 
. Так как 
и 
, то 
. Рассмотрим подгруппу 
. Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе 
из 
. По индукции либо принадлежит , либо является минимальной не -группой.2.1
Тогда
. Если предположить, что 
является 
-максимальным простым делителем порядка группы , 
, то силовская -подгруппа 
нормальна в и, по теореме, 
.Значит,
--- -максимальный простой делитель порядка группы . Это значит, что 
и 
. Пусть --- минимальная не -группа. Тогда 
совпадает с силовской -подгруппой группы и, следовательно, 
. Получили, что 
. С другой стороны, 
-субнормальна в , а значит, и в . Поэтому 
.Противоречие. Значит,
. Это значит, что 
. Из того, что максимальна в , а максимальна в , следует, что 
--- абелева дополняемая в подгруппа. Так как 
и , то 
и 
. По теореме Гашюца имеет дополнение 
в . Так как не максимальна в , то, по условию, найдется -субнормальная в подгруппа 
такая, что 
. Из того, что 
следует, что 
. Но тогда -субнормальна в . Противоречие.2.2
Тогда
--- силовская -подгруппа группы . Рассмотрим 
-холлову подгруппу 
группы , содержащую . Так как 
, то содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если не максимальна в , то будет -субнормальна в . Потому максимальна в . Ввиду теоремы 
--- -группа. Если 
, то, согласно доказанному выше, лемма верна. Значит, 
--- минимальная нормальная подгруппа в . 
максимальна в . Подгруппа содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Так как не максимальна в , то, по условию, найдется -субнормальная в подгруппа такая, что 
. Так как 
, то 
. Но подгруппа будет содержаться в подгруппе группы . Если 
, то -субнормальна в . Если же 
, то получаем противоречие с тем, что --- -абнормальная максимальная подгруппа группы . Теорема доказана